پایان نامه ارشد:توسعه روش تجزیه مرحلهایQR در الگوریتم ژاکوبی بلوکی موازی SVD و کاربردهای آن
جبر خطّی شاخهای از ریاضیّات است که به بررسی و مطالعه ماتریسها، بردارها، فضاهای برداری، تبدیلهای خطی و دستگاههای معادلههای خطّی میپردازد. علاوه بر کاربردهای فراوان جبر خطی در زمینههایی از خود ریاضیات همانند آنالیز تابعی، هندسه تحلیلی و آنالیز عددی، استفادههای وسیعی نیز در فیزیک، مهندسی، علوم طبیعی و علوم اجتماعی پیدا کرده است [19] [16].
برای به کار بردن دانش جبر خطی در علوم تجربی، فیزیک و مهندسی، که همگی لازم به انجام محاسبات عددی در آزمایشها و تحلیل دادهها هستند، نیاز به توسعه شاخهای به نام جبر خطی عددی وجود دارد. جبر خطی عددی دانش مطالعه بر روی الگوریتمهای عددی جهت محاسبات جبر خطی بوده که مهمترین آنها عملیات ماتریسی برروی کامپیوتر است. عملیات ماتریسی پایه و اساس بسیاری از محاسبات مهندسی از قبیل پردازش تصویر، سیگنال، مخابرات، محاسبات مالی، علوم مهندسی مواد، بیولوژی و… است.
یکی از مسائل عمومی عملیات ماتریسی تجزیه ماتریس[1] است. تجزیه ماتریس یک عمل فاکتورگیری[2] از ماتریس به صورت حاصلضرب چند عامل ماتریسی است. تجزیههای ماتریسی مهم وپرکاربرد عبارتند از: تجزیهLU ماتریسی[3]، تجزیه چولسکی ماتریس[4]، تجزیه QR ماتریس[5]، تجزیه EVDماتریس[6]، تجزیه قطبی ماتریس[7] وتجزیه مقادیر منفرد ماتریس[8] یا .SVD
درجبر خطی، الگوریتم SVD یک تجزیه از ماتریس حقیقی یا مختلط است که از ابزارهای قدرتمند باکاربردهای فراوان، مفید و تاثیرگذار در علوم پایه، فنی مهندسی و همچنین در پردازش سیگنال وآمار است. الگوریتم SVD یک تکنیک برای تجزیه یک ماتریس به ضرب سه فاکتور میباشد.
الگوریتم ژاکوبی یکی از اولین الگوریتمها جهت اجرایی کردن SVD است. الگوریتم ژاکوبی یک ماتریس مستطیلی را به یک ماتریس قطری با استفاده از دنبالهای از ضرب ماتریسهای چرخشی[9] تبدیل میکند. این روش میتواند مقادیر منفرد را با دقت بالا پیدا کند. لازم به ذکر است به کار بردن این روش به تنهایی خود عملکرد پائینی دارد، بنابراین باید به سمت روشهایی با عملکرد بالاتری روی آورد. روش تجزیه مرحلهای QR یکی از این
الگوریتمهای عمومی وکاربردی در این زمینه است که با انجام پیش پردازش QR میتوان عملکرد اجرایی بالایی را به دست آورد. اساس مهمترین روشهای مدرن پیاده سازی الگوریتم SVD، کاهش ماتریس به شکل قطری با استفاده از تبدیلهای متعامد است. یکی از مزیّتهای تجزیه مرحله ای QR، قابلیّت حل مسائل با دقت و همگرایی بالا می باشد [29] و [9] .
روشهای استاندارد SVD، در بستههای LINPACKو LAPACK پیاده سازی شدهاند. در این پایاننامه، ما قصد استفاده از ابزارهای موازی نرم افزار MATLAB را داریم که در ادامه، مزیّتهای آنرا نسبت به نرمافزارهای مشابه جهت موازیسازی و معماری ساختار موازی به اختصار توضیح خواهیم داد.
توسعه روش پیش پردازش مرحلهای QR در الگوریتم ژاکوبی موازی میتواند منجر به پیادهسازی بهینه الگوریتم SVD گردد. این روش ابتکاری میتواند در آنالیز و بهینه سازی دادهها کاربردهای فراوانی داشته باشد.
[1] Matrix decomposition
[2] Factorization
[3] Lu deomposition
[4] Cholesky decomposition
[5] QR decomposition
[6] Eigenvaluc decomposition
[7] Polar decomposition
[8] Singular value decomposition
[9] Rotation matrix
نسخه قابل چاپ | ورود نوشته شده توسط نجفی زهرا در 1399/10/26 ساعت 03:40:00 ب.ظ . دنبال کردن نظرات این نوشته از طریق RSS 2.0. |