در این فصل مفاهیم مورد نیاز در پایان نامه بیان می شوند . مفاهیمی از قبیل : طرح های عاملی ، مقابله ها ، تحلیل كواریانس ، توزیع وایبل و خواص آن ، توزیع لجستیك تعمیم یافته  و روش درستنمایی ماكزیمم .

 

1-2-  طرح های عاملی

 

طرح های عاملی که توسط فیشر ( 1935) و یتس (1937) معرفی شدند اغلب بهترین و پر استفاده ترین طرح ها برای انجام آزمایش در کاربردهای صنعتی هستند . در این گونه طرح ها اثرهای عوامل چندگانه بر خروجی به صورت همزمان مورد بررسی قرار می گیرند . این طرح ها کارایی بیشتری نسبت به روش قدیمی هر بار یک عامل دارند . همچنین طرح های عاملی توانایی تشخیص و برآورد اثرهای متقابل بین عوامل را فراهم می کنند در حالی که روش هر بار یک عامل این قابلیت را ندارد . در روش هر بار یک عامل ، یک سطح پایه برای هر عامل در نظر گرفته می شود . سپس در هر مرحله سطح یکی از عوامل را تغییر می دهیم در حالی که بقیه عوامل در سطح ثابتی قرار دارند . برای مثال فرض کنید تاثیر دما و ماده اولیه را بر خروجی یک آزمایش شیمیایی بررسی می کنیم .

 

سطح پایه برای دما و ماده اولیه به ترتیب دمای متوسط و ماده اولیه ب می باشند . آن گاه مشاهدات فقط از تیمارهایی که با * مشخص شده اند ، به دست می آیند . در این حالت بررسی اثر متقابل امکان پذیر نمی باشد .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

دمای زیاد	دمای متوسط	دمای کم
	*		ماده اولیه الف
*	*	*	ماده اولیه ب
	*		ماده اولیه ج

جدول یک – روش هر بار یک عامل

 

یکی از رایج ترین طرح های عاملی طرح عاملی k 2 است که در آن k تعداد عامل ها و هر عامل دارای دو سطح می باشد .هدف اصلی از این طرح تعیین موثرترین عامل است و در حقیقت این یک آزمایش اکتشافی است که روند بررسی عوامل را برای ما روشن می سازد .

 

در منابع دوره کارشناسی آمار معمولا طرح های عاملی بر اساس فرض نرمال بودن خطا پایه ریزی شده اند اما در عمل توزیع های غیر نرمال متداول ترند 

 

1-2-1-  طرح عاملی 22

 

فرض كنید عوامل A و B هر كدام دارای دو سطح می باشند ، مدل آنالیز واریانس را  به صورت زیر در نظر می گیریم :

 

 ( 1-2-1 )      

 

كه در آن µ میانگین كلی،  اثر i امین سطح عامل A ،  اثر j امین سطح عامل B،  اثر متقابل  و  خطای تصادفی می باشد .

 

1-2-2- مقابله ها

 

چهار ترکیب تیماری را با نماد (1) ، a ،  b ،ab  نشان می دهیم . (1) نشان دهنده سطح پایین  هر دو عامل (i=1 , j=1 )، a نشان دهنده عامل A در سطح بالا(i=2, j=1 )،    b نشان دهنده عامل B درسطح بالا (i=1 , j=2  )  و ab نشان دهنده سطح بالای هر دو عامل (i=2 , j=2  ) می باشد . در طرح عاملی 22 به بررسی اثرهای اصلی A و B و اثرمتقابل دوعاملی AB علاقه مند هستیم . اثر اصلی عامل A و B را با تفاوت میانگین مشاهدات در سطح بالا و در سطح پایین اندازه گیری می كنیم :

 

اگر میزان تاثیر عامل A بر خروجی ، به سطح به کار رفته از عامل  B بستگی داشته باشد ، بنا به تعریف اثر متقابل وجود دارد . میزان اثر متقابل A و B را بر متغیر پاسخ به صورت زیر اندازه گیری می کنیم :

 

با توجه به عبارت مربوط به اثر A ، ضرایب تمام ترکیب های تیماری که در آن A در سطح بالاست ( +a , +ab ) ، 1+ و ضرایب تمام ترکیب های تیماری که در آن A در سطح پایین است یعنی ( (1)b ,  )  ، 1-  است و همچنین   یک مقابله است ( مجموع ضرایب آن برابر صفر است (0=1+1- 1+ 1- ) ) . مقابله های A ، B  و AB  را به این صورت تعریف می کنیم :

 

ضرایب مقابله ها برای طرح عاملی 22 در جدول زیر داده شده است .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ab	b	A	(1)	اثرها
1+	1-	1+	1-	A
1+	1+	1-	1-	B
1+	1-	1-	1+	AB

جدول دو – ضرایب مقابله ها در طرح عاملی 22

 

به طور واضح ، مقابله ها نسبت به هم متعامد هستند . مجموع مربعات اثر های اصلی ومتقابل به صورت زیر هستند .

 

1-2-3- طرح عاملی k2

 

ساده ترین طرح در رده طرح های k2 ، طرح 22 است . طرح عاملی k2 طرحی است مشتمل بر k عامل ، هر یک در دو سطح ، و چون پاسخ کامل چنین طرحی نیاز به  تیمار دارد آن را طرح k2 نامیده اند . مدل آماری برای طرح k2 شامل   اثر اصلی ،  اثرمتقابل دو عاملی ،  اثر متقابل سه عاملی و بالاخره  اثر متقابل k عاملی است . پس طرح k2  دارای  اثر است . همان طور که در طرح 22 نشان داده شد برای تعیین برآورد یک اثر و محاسبه مجموع مربعات آن اثر باید مقابله مربوط به آن اثر را تعیین کرد . که همواره می توان مقابله ها را با استفاده از جدول علائم مثبت و منفی ، مانند جدول یک در طرح 22 ، مشخص کرد . برای تعیین مقابله هر اثر کافی است ترکیب های تیماری را در علائم متناظر آن ها در ستون آن اثر ضرب کرده و آن ها را با هم جمع کنیم .اما ممکن است این روش برای به دست آوردن مقابله ها وقتی تعداد عوامل نسبتا زیاد است چندان مناسب نباشد . در این گونه موارد می توان از روش دیگری برای تعیین مقابله ها استفاده کرد . برای تعیین مقابله هر اثر در طرح عاملی k2 مشتمل بر k عامل A ، B ، …. ، و K کافی است ضرب طرف راست عبارت زیر را انجام دهیم

 

و در آن به جای 1 از نماد (1) استفاده کنیم ، که در آن علامت عدد 1 درون هر پرانتز را منفی می گیریم اگر آن عامل شامل اثر مورد نظر باشد ، و مثبت می گیریم اگر آن عامل شامل اثر مورد نظر نباشد . به محض تعیین مقابله اثرها ، برآورد اثرها و مجموع مربعات آن ها را بر اساس روابط زیر محاسبه می کنیم .

 

  برآورد اثر

 

1-3-  تحلیل كواریانس

 

   تحلیل کوواریانس تکنیکی است که گاهی اوقات برای اصلاح دقت یک آزمایش مفید است . اگر در یک آزمایش با متغیر پاسخ  ، متغیر دیگری مثل  همراه باشد به طوری که به صورت خطی به آن وابسته باشد و همچنینتحت کنترل آزمایشگر نباشد ولی بتوان همراه  مشاهده کرد ، متغیر را متغیر تصادفی کمکی یا ملازم می نامند . تحلیل کواریانس متضمن تعدیل متغیر پاسخ مشاهده شده بر اثر متغیر ملازم است . اگر چنین تحلیلی به عمل نیاید ، متغیر ملازم می تواند میانگین مربع خطا را متورم ساخته و اشکار کردن اختلاف های واقعی حاصل از تیمارها در پاسخ را مشکل تر کند پس تحلیل کواریانس روشی برای تعدیل اثر های متغیر های مزاحم غیر قابل کنترل است . اگر یک رابطه خطی بین پاسخ و متغیر تصادفی کمکی وجود داشته باشد مدل مناسب آماری آن به صورت زیر می باشد.

 

 که در آن   ،امین مشاهده در متغیر پاسخ تحتامین تیمار یا سطح تک عامل ،     اندازه به دست آمده از متغیر تصادفی کمکی یا ملازم متناظر با،(یعنیامین اجرا)  ، میانگین کلی ،  اثرامین تیمار ، ضریب رگرسیون خطی معرف وابستگی  به ، ومولفه خطای تصادفی است . می پذیریم خطاهای، متغیر های تصادفی مستقل و هم توزیع ( , ) NID هستند ، شیب و رابطه واقعی بین و  خطی است ، ضرایب رگرسیونی برای هر تیمار یکسان است ، مجموع اثرهای تیماری صفر است   ( )  و متغیر ملازم تحت تاثیر تیمارها نیست .