1 .1 تاریخچه‌ی معادلات انتگرال

معادلات انتگرال یکی از مهمترین شاخه­های ریاضی کاربردی است، که به‌واسطه‌ی تبدیل مسائل معادلات دیفرانسیل با مقادیر مرزی و اولیه به این معادلات ، اهمیت بسیاری دارند. بویس ریموند[1] اولین کسی بود که نام معادلات انتگرال را بروی این دسته از معادلات قرارداد [1] ، ولی در عمل لاپلاس[2] اولین کسی بود که در سال 1782 ، برای حل معادلات دیفرانسیل ، معادله‌ی انتگرال

را مطرح نمود[1] . به دنبال آن، فوریه [3] در سال 1811، برای حل مسائل حرارت، آبل[4] در سال 1823، در حل مسائل مکانیکی ،

 پواسون [5] در سال 1826، در تئوری مغناطیس و لیوویل [6] در سال 1823، در حل برخی معادلات دیفرانسیل، از معادلات انتگرال استفاده کردند . نیومن[7] در سال 18701، مساله ی دیریکله (تعیین تابع f روی سطح S که درمعادله ی لاپلاس صدق کند) ، را تبدیل به یک معادله انتگرال نمود و نیز پوانکاره [8] در سال 1895 ، در بهبود حل معادلات انتگرال بسیار تاثیر گذار بود وی معادله انتگرال

را که متناظر با معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی

که منسوب به معادله ی حرکت موج می باشد ، مورد بررسی قرار داد ولترا در سال 1896، برای اولین بار نظریه ی عمومی معادلات انتگرال را ارائه نمود[1].

در سال 1900 ، ریاضی دان سوئدی به نام فردهلم یک دسته بندی کلی از معادلات انتگرال خطی به فرم

(1. 1)

را ارائه نمود که شامل دسته بندی خاص از معادلات ولترا نیز بودند. در  ادامه هیلبرت به تحقیق در مورد معاملات انتگرال پرداخت و برای حل این معادلات، فضای هیلبرت را تعریف نمود[1].

یکی از کارهای مهم ایشان ، فرموله کردن مسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی با شرایط مرزی و اولیه به صورت یک معادله انتگرال بود و به این ترتیب حرکتی نو در حل این گونه معادلات به وجود آمد. به علاوه اصطلاح نوع اول و دوم که امروزه در معادلات انتگرال به کار می رود، اولین بار توسط هیلبرت پیشنهاد داده شد.

بسیاری از مسائل مهم ریاضیات و فیزیک به معادلات انتگرال منتهی می شوند سیستم های دینامیکی هم چون معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال ، کنترل بهینه و غیره  در تمامی زمینه های علوم مهندسی، مدل سازی  و پیش بینی مانند تئوری های آنالیز تابعی و فرآیندهای تصادفی به کار می روند. نظر به اینکه حل تحلیلی رده هایی از معادلات انتگرال، به علت پیچیدگی و صرف وقت و هزینه، مقدور نیست یا حل آنها به آسانی امکان پذیر نیست لذا از رویکردهای عددی برای محاسبه ی جواب تقریبی این رده از معادلات استفاده می کنیم. بنابراین، به کارگیری روش های عددی در حل معاملات انتگرال اهمیت بسزایی دارند که یکی از روشهای عددی متداول و موثر روش تقریب بلوکی است.

تعریف 1.1.1 (معادلات انتگرال) به معادلاتی گفته می شود که در ان تابع مجهول، زیر یک یا چند علامت انتگرال ظاهر می شود. فرم کلی یک معادله انتگرال خطی به صورت زیر است.

(1 .2)

که در آن ، fتابع مجهول و k، g وh توابعی معلوم هستند. تابع  هسته ی معادله ی انتگرال نامیده می شود.  عددی حقیقی یا مختلط و a عددی حقیقی است. در معادله ی فوق ، حد بالایی انتگرال ممکن است عدد ثابت یا متغیر s باشد