……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 37

2.3 . مدل رگرسیون خطی با داده­های سانسور شده  با وجود خطا در متغیرهای مستقل…………………………… 40

1.2.3 اصلاح روش حداقل مربعات……………………………………………………………………………………………………………….. 41

2.2.3 روش درستنمایی تجربی وساخت فاصله اطمینان…………………………………………………………………………….. 45

4.3 اثبات قضایا……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 50

فصل چهارم :مطالعات شبیه سازی

1.4 حالت یک بعدی………………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6

پیوست

   برآوردگر کاپلان مایر با وجود داده­های سانسور شده……………………………………………………………………………………… 66

   نسبت لگاریتم درستنمایی تجربی…………………………………………………………………………………………………………………… 67

   معرفی نمادهای  ­و ……………………………………………………………………………………………………………….. 70

واژه­ نامه

واژه نامه انگلیسی­-فارسی………………………………………………………………………………………………………………………………… 72

وژه نامه فارسی-انگلیسی…………………………………………………………………………………………………………………………………. 77

مراجع…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 82

فهرست جداول

عنوان                                                                                                         صفحه

جدول شماره 2.1: مجموع مربعات باقیمانده……………………………………………………………………………………………………. 31

جدول شماره 2.2: مجموع مربعات باقیمانده…………………………………………………………………………………………………… 34

جدول شماره 3.2: ضرائب برآورد شده (برای مدل کامل)………………………………………………………………………………. 35

جدول شماره 1.3: متوسط طول و احتمالات پوشش فواصل اطمینان روش NA برای ……………………………. 62

جدول شماره 1.3: متوسط طول و احتمالات پوشش فواصل اطمینان روش AEL برای …………………………. 63

فهرست شکل­ها

عنوان                                                                                                                    صفحه

شکل شماره 1.2: نمودار باقیمانده ها برای داده های پیوند قلب استانفورد، برازش درجه دوم………………………. 20

شکل شماره 2.2: نمودار باقیمانده ها برای داده های پیوند قلب استانفورد، برازش خطی…………………………….. 21

فصل اول:

مقدمات

در این فصل تعاریف و مقدمات اولیه برای مدل­های خطی، مدل­های خطی با خطای اندازه­گیری، برآوردگرهای استوار به­ویژه برآورد M، آنالیز بقا، برآوردگر کاپلان مایر، داده­های سانسورشده و انواع سانسور ارائه می­شود.

1-1- مدل خطی

یکی از کاربردی­ترین­­ روش­ها برای تحلیل داده­ها در بین ابزارهای آماری، تحلیل رگرسیونی است. تحلیل رگرسیونی،روشی کارآمد برای بررسی و مدل­سازی ارتباط بین متغیرها است که از این مدل های رگرسیونی در توصیف داده­ها، برآورد پارامترهای مجهول، پیش­گویی و کنترل استفاده می شود.

در بیشتر موارد، پاسخ یک آزمایش به چندین متغیر مستقل مثلا k متغیر مستقل، وابسته است. در این صورت یک مدل خطی رابطه­ای به صورت زیر را در نظر می­گیرد:

که n اندازه نمونه می­باشد. متغیرهای  را متغیرهای توضیحی و متغیر تصادفی قابل مشاهده y را متغیر پاسخ می­نامند.

متغیر تصادفی غیرقابل مشاهده  متغیر خطا تلقی می­شود، بدین معنی که به عنوان متغیری تصادفی، انداره ناتوانی مدل در برازش دقیق داده­ها را اندازه­گیری می­کند. این خطا ممکن است به دلیل عدم حضور برخی از متغیر­های مؤثر، خطاها­ی تصافی مربوط به مشاهدات و اندازه­گیری­ها و غیره صورت پذیرد.

همچنین فرض می­شود که خطا­ها دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس نامعلوم  و ناهمبسته باشند.

پارامترها­ی  و  مجهول هستند و باید با استفاده از داده­ها برآورد شوند. فرض می­­شودداده­ها عبارتند از  که در آن  پاسخ متناظر با k سطح از متغیرها­ی مستقل  است. یعنی بنابر معادله (1.1.1) می­توان نوشت:

آن­گاه هدف ما به دست آوردن برآوردها­ی برای به ترتیب به نام­های  و در نتیجه به دست آوردن رابطه زیر است.

که در آن  نشان دهنده مقدار برآورد شده y به ازای مقادیر  است. در این صورت معادله (3.1.1) به عنوان معادله پیش بینی کننده می­تواند مورد استفاده قرار گیرد.

معمول­ترین روش در برآورد پارامترهای یک مدل خطی، استفاده از روش “کمترین مربعات معمول (OLS)” است که روشی بسیار سودمند و کارا است.

پایه و اساس روش کمترین مربعات به  Gaussو  Legendreباز می­گردد. این روش (و تعمیم­های آن ) به دلیل راحتی محاسبات و جواب­های بسته مبتنی برآن مورد توجه بسیاری از آماردانان است.

برآوردهای  را به گونه­ای برمی­گزینیم که مجموع توان دوم انحراف­ها را کمینه کند، یعنی آن­ها را به ­گونه­ای به ­دست می­آوریم که در معادله زیر هنگامی که به ترتیب جایگزین  می­شوند، کمترین مقدار ممکن را تولید کنند.

برآوردهای  با مشتق گرفتن از معادله (4.1.1) نسبت به  و مساوی صفر قرار دادن آن­ها به دست می­آیند. ملاحظه می­شود که برای حل این معادله ها­ی نرمال بهتر است که از روش ماتریسی استفاده شود. می توان رابطه (1.1.1) را به فرم ماتریسی زیرر در نظر گرفت.

بطوری­که .

فرم ماتریسی را می­توان بصورت زیر نوشت.

این مدل را یک مدل خطی گویند، زیرا نسبت به پارامترها­ی مدل، خطی است.

در این مدل خطی Yیک ماتریس ، X یک ماتریس  ،  یک ماتریس  و  یک ماتریس  هستند.

آن­گاه می­توان معادله­ها­ی نرمال را به صورت زیر نوشت:

زیرا

چون  یک ماتریس  است در نتیجه با ترانهاده خود برابر است پس:

و خواهیم داشت:

با مشتق گرفتن از رابطه (7.1.1) نسبت به بردار  و جایگزین کردن  به جای  و مساوی صفر قرار دادن آن، معادله­های نرمال (6.1.1) به دست می­آیند.

ماتریس­های  و  عبارتند از:

با فرض معکوس­پذیر بودن ماتریس  داریم:

که در این صورت معادله پیش بینی کننده عبارت است از:

که در آن داریم:

اما زمانی که داده پرت داشته باشیم روش کمترین مربعات معمولی جوابگو نیست، به همین دلیل به معرفی برآوردگرهای استوار می پردازیم.

1-2- انواع برآوردگرهای استوار:

برآوردگرهای استوار برآوردهایی هستند که با استفاده از آن­ها می­توان حساسیت روش حداقل مربعات را نسبت به وجود داده­های پرت کاهش داد.

برای این منظور روش کمی زیر را معرفی می­کنیم:

می­توان  را توسط تابع دیگری مانند  جایگزین کرد. و با کمینه کردن  به برآوردگری استوار دست یافت. برآوردهای ، برآوردهای M و برآوردهای GM با این روش حاصل می­شوند. که در این پایان نامه فقط به معرفی برآورد M می­پردازیم.

تذکر. جایگزین کردن مجموع یا میانگین با کمیت­های استوار نظیر آن­ها مانند میانه یا میانگین پیراسته است. بر این اساس، روش­هایی تحت عنوان LMS (کمترین میانه مربعات) یا LTS (کمترین میانگین پیراسته مربعات) معرفی شده­اند.

1-2-1- برآوردM

می­توان در رابطه ی  به جای  توابع دیگری مانند  را قرار داد و برآوردهای پارامترها را به­گونه­ای یافت که کمیت زیر حاصل شود.

که  یک تابع حقیقی با ویژگی­های زیر است:

الف.

ب. تابع  متقارن است.

ج. تابع  پیوسته است.

د. اگر  آنگاه  است.

ه. فرض کنید  باشد، آنگاه  است.

و. اگر    و ، آنگاه  است.

تذکر. می­باشد.