. 25

2-1    معرفی دستگاه های مقید. 26

2-1-1     دستگاه های تکین و قیود. 26

2-1- 2    قیود نوع اول و نوع دوم. 29

2-1-3    کروشه دیراک…. 30

2-2    کوانتش سیستم های مقید. 30

2-3     کوانتش میدان کلین گوردون در حجم محدود با استفاده از قیود دیراک     32

2-3-1    حل معادله میدان کلین گوردون. 32

2-3-2    کوانتش دستگاه بدون حل معادلات حرکت… 33

2-3-3     محاسبه میدان کلین گوردون با شرط مرزی نویمان  37

2-4    کوانتش میدان الکترومغناطیس با استفاده از قیود دیراک در حجم محدود  37

2-4-1   اصول کار. 37

2-4-2   کوانتش میدان الکترومغناطیسی.. 38

2-4-3    تعریف شرایط مرزی و محاسبه قیود. 39

2-4-4    اعمال قیود بر بسط مولفه های میدان. 41

  .. 42

3-1     معرفی.. 43

3-2     نوسانگر هارمونیک…. 43

3-3     رابطه مدهای میدان و نوسانگر هارمونیک…. 45

3-4    کوانتش مدهای میدان. 46

3-5     میدان در فضای آزاد. 47

3-6     ضرورت میدان خلاء. 49

3-7     اثر کازیمیر. 50

 

 

  .. 54

4-1       میدان اسکالر کوانتیده در  فاصله محدود. 55

 

4-1-1     منظم سازی میدان اسکالر با تابع نمایی.. 56

4-1-2     منظم سازی میدان اسکالر با تابعی دیگر. 58

4-2      نیروی کازیمیر برای میدان الکترو مغناطیس…. 59

4-2-1       صفحات رسانای موازی.. 59

4-2-2      به دست آوردن نیروی کازیمیر میدان الکترو مغناطیسی با استفاده از روش بررسی سازگاری قیود  62

 

 

4-3    فشار تابشی خلاء: توضیح فیزیکی نیروی کازیمیر. 66

  68

5-1    ریسمان باز در حضور میدان مغناطیسی B.. 69

5-2   معادلات میدان، شرایط مرزی و قیود ریسمان. 70

5-3    انرژی نقطه صفر ریسمان. 75

5-4   منظم سازی انرژی نقطه صفر و محاسبه نیروی کازیمیر. 76

5-5   حالت کلی دیگر. 77

5-6    نتیجه گیری.. 78

. 79

 

 

چكیده

هدف اصلی این پایان نامه پیوند بین دو مبحث دستگاههای مقید و اثر كازیمیر می باشد. نقطه مشترك این دو مبحث مهم را می توان در شرایط مرزی یافت. در این تحقیق برای به دست آوردن نیروی کازیمیر میدان های كلین گوردون، الكترومغناطیس و ریسمان باز، از روش كوانتش سیستم های مقید با در نظر گرفتن شرایط مرزی به عنوان قیود استفاده شده است. برای این منظور پس از محاسبه سازگاری قیود مذكور با هامیلتونی کل و اعمال زنجیره کامل قیود بر بسط فوریه مولفه های میدان  مد های غیر فیزیکی حذف شده  و به فضای فاز کاهش یافت دست می یابیم. سپس با تبدیل كروشه دیراك مدهای باقی مانده به جابه جا گر، سیستم را  كوانتومی می کنیم و عملگر انرژی را بر حسب مدهایی فیزیکی بیان می کنیم. منشا اثر کازیمیر در مقایسه مدهای حاضر در عملگر انرژی دستگاه دارای شرایط مرزی با دستگاه بدون مرز است. به بیان دیگر نشان می دهیم که اعمال قیود ناشی از شرایط مرزی منجر به حذف برخی از مدها و ظهور نیروی کازیمیر می شود.

کلمات کلیدی: اثرکازیمیر، دستگاه های مقید، شرایط مرزی، کروشه دیراک

0-1    پیدایش اثر كازیمیر

از زمان انتشار مقاله معروف كازیمیر[1] مشخص گردیده است كه تغییر در طیف افت و خیزها (چه کوانتومی و چه گرمایی) توسط مرزهای خارجی سبب ایجاد نوعی بر هم كنش می شود. اثر كازیمیر، در ساده ترین حالت، نیروی جاذبه بین دو صفحه صاف رسانای موازی است كه منشاء آن تغییر حالت خلاءالكترومغناطیسی توسط مرزها می باشد. اگر بخواهیم در یك عبارت ساده منشاء ایجاد نیروی كازیمیر را شرح دهیم باید بگوییم كه: شرایط مرزی،‌ طیف میدان كوانتومی ‌خلاء را تغییر می دهد و این تغییر طیف سبب پیدایش نیروی كازیمیر می شود.

اثر كازیمیر یكی ازنتایج اصلی الكترودینامیك كوانتومی (QED) است. توجیه این نیرو فقط در قالب الكترودینامیك كوانتومی امکان پذیر است و هیچ گونه تفسیر كلاسیكی از آن نمی توان یافت، به عبارت دیگر در حد كلاسیك(0ħ→) نیروی كازیمیر برابر با صفر می شود[2].

این اثر شامل نیرویی می شود كه نه می توان آن را اثر بار، ‌نه گرانش و نه رد وبدل كردن ذرات بین دو جسم دانست. یك كمیت فیزیكی مهم در بحث نیروی كازیمیر فشار تابش میدان است. در غیر از حالت تشدید،‌ فشار تابش داخل حفره كوچك تر از بیرون است و صفحه ها به طرف یكدیگر جذب می شوند و چون ثابت شده است كه در حالت تعادل ، مولفه های جاذبه كمی قوی تر از مولفه های دافعه هستند بنابراین برای دو

 

صفحه تخت كاملا موازی نیروی كازیمیر از نوع جاذبه است.

گر چه این نیرو فقط در فاصله های چند میكرونی قابل اندازه گیری است و مقدارش خیلی كوچك است ولی در فاصله های زیر میكرومتر، ‌قوی ترین نیروی بین دو جسم طبیعی به شمار می رود. هر چند ما در زندگی خود به طور مستقیم با این قبیل فاصله های كوچك سروكار نداریم اما اهمیت این فاصله ها در نانوساختارها و سیستم های میكروالكترومكانیكی (MEMS) مشخص می شود[3]. MEMS قابلیت های فراوان كاربردی در علوم مهندسی دارد و یكی از عمده ترین موارد استفاده آن در حال حاضر در سنسورهای فشار كیسه هوای اتومبیل ها است. از آن جا كه قطعات MEMS در ابعاد میكرون و زیر میكرون ساخته شده اند، ‌نیروی كازیمیر باعث اتصال عناصر كوچك این قطعات خواهد شد. این اثر را می توان به نوعی از طریق فرضیه انرژی نقطه صفر (Zero Poin Energy) یا انرژی خلاء نیز بیان كرد. انرژی نقطه صفر به كوچك ترین انرژی امكان پذیر در یك سیستم مكانیك كوانتومی گفته می شود واگر بخواهیم رابطه آن را با نیروی كازیمیر بیان كنیم باید بگوییم كه : نیروی كازیمیر مشهورترین اثر مكانیكی نوسانات خلاء است.

 

0-2    هدف كلی

پس از آن که بحث دستگاه های مقید و کوانتش لاگرانژی های تكین نخستین بار توسط دیراك و برگمن مطرح شد، مقالات و مطالعات زیادی در این مورد و كوانتش آنها انجام شد. با توجه به آنكه كوانتش این دستگاهها با اعمال قیود روی فضای حالتها انجام می شود، (كه در مورد قیود نوع اول روی فضای حالت نرمال و در مورد قیود نوع دوم در فضای فاز كاهش یافته اعمال می شود)، از كروشه های دیراك  به جای كروشه های پواسون باید استفاده کرد و سپس آنها را  به جای جابه جاگرهای كوانتومی تبدیل کرد.

در پایان نامه [4]، كوانتش میدان های اسكالر و الكترومغناطیس به طور كامل مورد بحث قرار گرفته است. در این پایان نامه از نتایج مرجع[4] استفاده کرده و پس از در نظر گرفتن شرایط مرزی برای هر میدان به عنوان قیود دیراک و بررسی سازگاری آنها  و به دست آوردن هامیلتونی و همچنین با استفاده از کروشه های دیراک به جای کروشه های پواسون، مؤلفه های میدان محاسبه شده است. سپس با استفاده از مؤلفه های میدان به دست آمده و هم ارزی این معادلات میدان با انرژی  میدان و هم چنین اعمال ویژه بسامدها، انرژی خلاء را از جمع روی همه مدهای بردار موج و طول موج به دست می آوریم كه به مقدار نامتناهی ω ħ می رسیم. برای متناهی كردن این مقدار از چندین تکنیک منطم سازی(تابع نمایی ، تابع زتای ریمان و تابع قطع) استفاده می كنیم. در نهایت از اختلاف انرژی خلاء فیزیكی( اعمال شرایط مرزی) و انرژی خلاء آزاد (بدون در نظر گرفتن شرایط مرزی) انرژی كازیمیر را به دست می آوریم. یعنی:

 

باید توجه کرد كه هر تغییر در شرایط مرزی مقدار این انرژی را تغییر می دهد.در نهایت با محاسبه انرژی فیزیكی، نیروی كازیمیر با مشتق گیری نسبت به فاصله به دست می آید.

روشی كه در بالا توضیح داده شد به طور اصولی در كلیه میدان های اسكالر و الكترومغناطیس به كار می رود. همچنین در مقاله دهقانی و شیرزاد [5] هامیلتونی برای ریسمان باز چه در شرایط معولی و چه در شرایطی كه میدان مغناطیسی B بر ریسمان وارد می شود، به دست آمده است،كاری كه در این تحقیق انجام شده است، همانند روش بالا انرژی خلاء را به دست آورده و با متناهی كردن آن توسط تابع زتای ریمان و سپس مشتق گیری از آن، نیروی كازیمیر در ریسمان باز چه در حضور میدان مغناطیسی و چه در غیاب آن را پیداکرده ایم.

 

0-3    محتوای پایان نامه

در فصل اول به طور مفصل به انرژی نقطه صفر، تاریخچه و مفهوم خلا كوانتومی ، پیدایش نیروهای وان در والس و در نتیجه ایجاد نیروی كازیمیر پرداخته شده است. و نشان داده شده است كه نیروهای وان در والس را می توان به انرژی نقطه صفر ربط داد. سپس رهیافت های مختلف در به دست آوردن نیروی كازیمیر كه شامل رهیافت انرژی نقطه صفر و رهیافت فشار تابشی نقطه صفر است را مورد بررسی قرار داده و در هر دو رهیافت پس از بررسی اختلاف آنها به نیروی كازیمیر رسیده ایم.

به مبحث مهم اثر دینامیك كازیمیر در سه قسمت  وابستگی اثر دینامیك كازیمیر به  شرایط مرزی، وابستگی آن به شكل سطح مرزها و اندازه گیری های تجربی این اثر پرداخته شده است. مانسته اثر كازیمیر در فیزیك كلاسیك و نقش اثر كازیمیر در شاخه های مختلف فیزیك نیز در پایان این فصل قید شده است.

فصل دوم این پایان نامه به معرفی دستگاه های مقید، لاگرانژی های تكین، قیود نوع اول و دوم، قیود اولیه و ثانویه، كروشه های پواشون و دیراک و كوانتش میدان های اسكالر و الكترومغناطیس اختصاص داده شده است كه این كوانش در حجم محدود و با استفاده از قیود دیراك انجام شده است. در این بخش از نتایج به دست آمده از  مرجع [4] استفاده شده است. سپس از میدان های به دست آمده در این بخش،در فصل چهارم استفاده كرده نیروی كازیمیر متناظر برای هر میدان را به دست آورده ایم.

در فصل سوم این پایان نامه، مفهوم خلاء الكترومغناطیس به طور اصولی مورد بحث قرار داده شده است. پس از بررسی نوسانگر هارمونیك و هامیلتونی و معادلات حركت آن، در پایان این فصل با تعریف میدان مناسب، و استفاده از تابع قطع برای متناهی كردن مقدار انرژی پتانسیل و همچنین فرمول جمع اویلر- ماكلارین نیروی كازیمیر را به دست آورده ایم.

در فصل چهارم، در ابتدا  نیروی كازیمیر را برای یك میدان كلین گوردون به دست آورده ایم. در بخش دوم این فصل نیروی كازیمیر را برای میدان الكترومغناطیسی با استفاده از بسط مولفه های میدان به دست آمده در فصل دوم به دست آورده ایم. با این تفاوت كه در مبحث های جداگانه به طور مفصل منظم سازی انرژی حالت پایه را با تابع خفیف بسامدی، تابع زتای ریمان و تابع قطع انجام داده ایم. در بخش سوم این فصل نیز با استفاده از فشار تابشی خلاء به  نیروی كازییمر بر واحد سطح دست یافته ایم.

فصل پایانی این پایان نامه به محاسبه نیروی كازیمیر برای یك ریسمان باز در حضور میدان مغناطیسی اختصاص داده شده است. در آن جا به معرفی ریسمان باز، كنش ریسمان، معادلات میدان، هامیلتونی و شرایط مرزی ریسمان همراه با قیود مربوط پرداخته ایم، سپس انرژی نقطه صفر ریسمان را به دست آورده ایم و در پایان نیروی كازیمیر ریسمان را محاسبه كرده ایم. نتیجه مهمی را كه به آن رسیده ایم این است كه اعمال میدان مغناطیسی بر روی ریسمان به نیروی کازیمیر ریسمان هیچ تاثیری وارد نمی کند. بنابراین میدان مغناطیسی در نیروی كازیمیر ریسمان ظاهر نمی گردد.