ابتدا تاریخچه­ای مختصر از مدول­های درون­بر، هم­درون­بر، ­درون­بر­پوشا و هم­درون­­­پوشا ارائه  

­می­دهیم. اولین باردرسال1979 توسط خوری مفهومی به نام مدول­های­درون­بر معرفی شد. R – مدول M درون­بر گفته ­می­شود هرگاه به­ازای­ هر زیر­مدول غیرصفرN از M ، داریم :

 HomR(M,N)¹ 0. درسال­های ­بعد مفهوم درون­بری توسط مولفان دیگرازجمله ژئو، ریزوی­و رومن واخیراً توسط­اسمیت9، حقانی­ و ودادی مورد تحقیق و بررسی قرارگرفته ­است. سپس در سال2007 مفهوم­دوگانی از درون­بری به نام هم­درون­بری توسط امینی، ارشاد و شریف ارائه شد.

 مدول M هم­درون­بر گفته ­می­شود هرگاه به ­ازای­ هر زیر­مدول سرهN  از  M، داشته باشیم :

HomR(M/N , M) ¹ 0 . سپس مفهوم مدول­های درون­بر­پوشا توسط قربانی و ودادی در سال 2009 ارائه شد که توسیعی از مفهوم حلقه­ pri  می­باشد.  

حلقه R، حلقه­ ایده­آل­ راست اصلی یا به اختصار حلقه­ pri ، نامیده ­می­شود ­هرگاه، هر ایده­آل راست آن اصلی باشد. توسیع این مفهوم در مدول­ها درون­برپوشایی نامیده ­شده­است.

یک R- مدول ­راست M درون­برپوشا گفته­ می­شود هرگاه به ­ازای­ هر زیر­مدول غیرصفر N از M همریختی غیرصفرپوشایی از M  به N موجود باشد. بنابر قضیه اول یکریختی و با توجه به این

نکته که  یک مدول اصلی یکریخت با  R/Iاست ، حلقه R یک حلقه­ pri  است اگر و تنها اگر مدول RR درون­برپوشا باشد. دوگان این مطلب به­نام هم­درون­برپوشایی توسط قربانی ارائه شده­است. R – مدول M هم­درون­برپوشا گفته­ می­شود هرگاه به ­ازای­ هر زیر­مدول سره N از M  همریختی غیرصفر یک ­به ­یکی از M/N  به M موجود باشد.

در این پایان­نامه مفهوم هم­درون­بر­پوشایی، قضایای مربوطه و دوگان­ آن تحقیق می­شود که برگرفته از مرجع ]3[ می­باشد.

1-2. تعاریف وقضایای مقدماتی

        در سراسر این پایان­نامه حلقه­ها شرکت­پذیر و یکدار می­باشند. (تمام مدول­ها مدول راست می باشند.) درابتدا یادآوری، سپس تعاریف اولیه و بعد قضایای مقدماتی به صورت نکته و لم بیان می­شود.

 

 

 

یادآوری

     فرض­کنید R یک حلقه باشد.R  – مدول M را ساده گویند اگر زیرمدول غیربدیهی نداشته باشد. مدول M نیم­ساده نامیده ­می­شود اگر هر زیرمدولش یک جمعوند آن باشد.

     زیرمدول L از M اساسی ­نامیده ­می­شود و می­نویسیم ­Lvess M هرگاه به ­ازای هر  N £ M اگر L ∩ N = 0 ، آنگاه =0 N . به­طور معادل L vess M  اگر و تنها اگر به ­ازای­ هر عنصر ناصفر xÎM ، rÎR موجود باشد به­طوری­که  0 ¹ xrÎ L .

      زیرمدول K از M زاید ­نامیده­ می­شود و می­نویسیم K<< M ، ­هرگاه به ­ازای هر  N £ M  اگرK + N = M   آنگاه = M  N.

      فرض کنید M  یک R- مدول راست باشد، X زیرمجموعه­ای از M و Y هم زیرمجموعه­ای از R ، پوچساز راست X در R  با rR (X) و پوچسازچپ Y در  M با lM (Y)  نمایش داده­  می­شود و تعریف می­کنیم :

rR (X) = { r Î R : X r = 0 }            lM (Y) ={ m Î M : mY = 0 }

همچنین برای S- مدول چپ N ، rN (Z) وlS (W)  به­طور مشابه برای هر Z Í S و هر

W Í N به صورت زیر تعریف می­شود :

r N  (Z) ={ n Î N : Z n = 0 }           l S (W) = { s Î S : sW = 0 }

  اگر  X = {a}، آنگاه پوچساز راست آن با  rR (a )  نشان داده­ می­شود و داریم :  

 rR (a)= rR (X) و نیز   lR (a)= lR (X).

با استفاده از قضیه 2-15 از مرجع [1] نتایج زیر را داریم :

اگر A و B دو زیرمجموعه R – مدول راست M  باشند و AÍ B آنگاه rR (B) Í rR (A) . بوضوح Í lM (rR (A)) A و می­توان نتیجه گرفت (A))) Í rR (A)  rR (lM (rR . از سوی دیگر با قرار دادن  C= rR (A)درC Í lM (rR ©) (به­ازای هرC Í R) داریم :

 rR (A) Í rR(lM (rR (A)))پس (A))) Í rR (A)  rR (lM (rR ؛

در نتیجه(A))) = rR (A)  rR (lM (rR .

 به طریق مشابه اگر I و J دو زیرمجموعه R باشند و I Í J ، آنگاه lM (J) Í lM (I)  . بوضوح

I Í rR (lM (I)) و می­توان نتیجه گرفت :  lM (rR (lM (I)))=lM (I) .

       اگرM یک R -مدول و U یک کلاس از R – مدول­ها باشدTr (M ,U ) و Rej (M, U ) به­ صورت زیر تعریف می­شوند که زیرمدول­هایی از M می­باشند.

Tr (M ,U )=å { Im f | f : ua →  M  ,   uaÎ U برای برخی }

Rej (M, U )=∩ {ker f | f : M →  ua  ,    uaÎU  برای برخی }

اگر S مجموعه تمام R – مدول­های راست ساده باشد، به ­ازای هر R – مدول M،Soc (MR)    بزرگترین زیرمدول نیم­ساده M است و با توجه به بخش 9 از مرجع [1]  به صورت زیر تعریف می­شود :

Soc(MR) = Tr (M ,S) = å {K | است M یک زیرمدول ساده از K }

        = ∩ { L | L vess M }.

همچنین  R –  مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر  soc(MR) = MR .

ضمناً به سادگی دیده­ می­شود R –  مدول M نیم­ساده است اگر و تنها اگر زیرمدول اساسی غیر بدیهی نداشته ­باشد.

R      – مدول M پروژکتیو نامیده ­می­­شود هرگاه به ­ازای هر نمودار از R- همریختی­ها و  R- مدول­ها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد ، R- همر­یختی→ A    M موجود باشد به­طوری­که نمودار زیر جابجایی باشد.

1-2-1. R –  مدول پروژکتیو M

یا به­طور معادل اگر هر دنباله دقیق کوتاه به صورت A→ B→ M → 0 0 →  شکافته شود ، آنگاه M پروژکتیو است.

R     – مدول M انژکتیو نامیده­ می­­شود هرگاه به­ ازای هر نمودار از R- همریختی­ها  و R- مدول­ها به صورت زیرکه سطر آن دقیق باشد، R – همر­یختی→  M   B موجود باشد به­طوری­که نمودار جابجایی باشد.  

1-2-2. R –  مدول انژکتیو M

همچنین R – مدول M انژکتیو است هرگاه به ازای هرایده­آل راست I از R ، هر همریختی

f : I→ M  را بتوان از R به M گسترش داد. (لم بئر)

1-2-3. R –  مدول انژکتیوM  (لم بئر)

تعاریف و قضایای زیر برای حلقه­ها و مدول­های راست بیان می­شود و به­طور مشابه برای مدول­های چپ نیز برقرار است.

تعریف 1-2-1. حلقه R، خود- انژکتیو راست نامیده­ می­شود، هرگاه RR انژکتیو باشد.

تعریف 1-2-2. حلقه R، حلقه انژکتیو اصلی راست یا به ­اختصار P- انژکتیو راست نامیده­ می­شود، هرگاه به ­ازای هر aÎR  هر R – همریختی f :aR→ RR    را بتوان به R– همریختی

:RR→  RR     گسترش داد .

تعریف1-2-3 . مجموعه عناصر منفرد R- مدول راست M  را با Z(MR )  نشان می­دهیم  و تعریف می­کنیم :

Z(MR ) = {mÎM |  rR (m) vess RR  }  £ M .

تعریف1-2-4 . R – مدولM، نامنفرد نامیده ­می­شود هرگاه Z(MR ) = 0  و نیز منفرد نامیده می­شود هرگاه  Z(MR ) = M .

تعریف1-2-5 . زیرمدول N ازR – مدول M ، کاملاً پایا نامیده ­می­شود هرگاه به ­ازای­ هر

ÎEnd (MR )  f   داشته­ باشیم f(N) Í N  . 

تعریف1-2-6 . یک حلقه را حلقه دو راست(right duo)گویند، هرگاه هر ایده­آل راست آن

دو طرفه باشد. به­طور مشابه حلقه دو چپ تعریف ­می­شود.

همچنین اگر  R یک حلقه دو چپ باشد وyÎ R   آنگاه  yR Í Ry ،  از آنجا که Ry دو طرفه است به ­ازای هر Î R  r،yrÎ Ry   و در نتیجه yR Í Ry .

تعریف1-2-7. عنصر aÎR ، منظم چپ نامیده­ می­شود هرگاه= 0  lR (a). به­طور مشابه عنصرbÎR ، منظم راست است هرگاه= 0  rR (b) .  

تعریف1-2-8 .حلقه R ، کاهشی است هرگاه عنصر پوچ­توان غیرصفر نداشته ­باشد.

تعریف1-2-9. حلقه R ، برگشت­پذیر (reversible)نامیده­ می­شود هرگاه به­ ازای هر a,bÎ R  ­ اگر= 0  ab  آنگاه ba = 0  .

تعریف1-2-10. ایده­آل سره P  از حلقه R نیم­اول نامیده ­می­شود هرگاه به ازای ­هرایده­آل  IازR   اگرI 2 Í P ، آنگاه Í P  I .

تعریف1-2-11. حلقهR  نیم­اول­ گفته ­می­شود، هرگاه صفر یک ایده­آل ­نیم­اول باشد.

تعریف1-2-12. فرض کنید R یک حلقه باشد. رسته تمام R – مدول­های راست را با MR  و رسته تمام R – مدول­های چپ را با  RM  نشان می­دهند.

تعریف1-2-13. فرض کنید R یک حلقه و a یک درون­ریختی از  R باشد ، حلقه R[x, a] حلقه چندجمله­ای ­اریب نامیده ­می­شود هرگاه شامل­تمام چند جمله­ای­های چپ با متغیر x به ­صورت  xi باشد جایی­که ri ÎR ، به­طوری­که به­ازای­ هر اسکالرrÎR  ضرب با عمل

r= a®.x  x تعریف شود.

تعریف1-2-14. R- مدولM را فشرده­پذیر گویند هرگاه به­ازای هر £ M   Nیک تکریختی از

M  بهN  موجود باشد.

      در زیر دو مفهوم تولید کردن و مولد ، و دوگان آن هم-­تولید کردن و هم-­مولد  بیان­ می­شود.

تعریف1-2-15. فرض کنیدU   یک کلاس از R – مدول­ها باشد .گوییم مدول M توسط U ( به طور متناهی ) تولید می­شود (U  ، M را ( به­ طور­ متناهی ) تولید می­کند)  اگر یک مجموعه اندیس­شده (متناهی)  (Ua)aÎJ  در U  و همریختی پوشای ÅJ  Ua →   M →   0  موجود باشد.

اگر= {U}  U ، آنگاه گوییم U ، M را تولید می­کند هرگاه  مجموعه اندیس J  و همریختی پوشای M →  f  : U (J)  موجود باشد.