1-1- پیشگفتار
پدیده­­ های فیزیکی خیلی زیادی درگیر و وابسته با جابجایی طبیعی هستند. می­توان جریان جابجایی آزاد و انتقال حرارت مربوط به آن را در گستره وسیعی از سیستم­های طبیعی و صنعتی مشاهده کرد. جریان آزاد در هوا٬ مبدل­های حرارتی٬ جمع­کننده­های انرژی خورشیدی٬ تکنولوژی خشک­ کننده­ ها٬ تکنولوژی­های فراوری غذا٬ خنک کننده ­های سیستم­های الکترونیکی و خنک کننده­های راکتورهای هسته­ای مثال­هایی از جریان جابجایی آزاد می­باشند.
 تفاوت اساسی جابجایی اجباری و آزاد در آن است که در جابجایی اجباری٬ موتوری که جریان را به حرکت در می­آورد خارجی است اما در جابجایی آزاد این موتور درون خود جریان است. اختلاف دمای دیواره- سیال باعث ایجاد چرخه طبیعی و یکنواخت در جابجایی طبیعی می­شود بدین صورت که در مجاورت دیواره گرم بسته­ای از سیال گرم شده و در حین منبسط شدن به سمت بالا حرکت  می­کند. سپس این بسته در مجاورت سیال سرد خنک شده متراکم گردیده و از طرف دیگر به سمت پایین حرکت می­کند تا دوباره به سطح گرم برسد. این چرخه قابلیت انجام کار دارد یعنی اگر پروانه­ای را وارد جریان کنیم در اثر این جریان به چرخش در می­آید. این مساله منشا نیروگاه­های بادی است. ولی اگر وسیله­ای برای استفاده از کار چرخه وجود نداشته باشد سیال به سرعت در چرخه به حرکت در آمده و کار بالقوه آن در اصطکاک با اجسام ثابت تلف می­شود.
هیدرودینامیک مغناطیسی (MHD)1 شاخه­ای نسبتا جدید ولی مهم از مکانیک سیالات است. از جمله زمینه­های مهم آن در صنعت می­توان به نقش کاربردی آن در خنک کردن راکتورهای هسته­ای با عدد پرانتل کوچک (مانند نقره با پرانتل 0.01 و بیسموت با پرانتل 0.021 ) نام برد  ] 1و2[. مگنتو هیدرودینامیک مطالعه جریان سیالی است که هادی جریان الکتریکی بوده و همزمان یک میدان مغناطیسی نیز  بر آن

 اعمال شده است به طوری که نیروی مغناطیسی به وجودآمده در جهت جریان یا خلاف آن است.

2-1- مروری بر کارهای گذشته
در سال 1989 مولیک و یاﺆ ]3[ جریان جابجایی آزاد را در امتداد یک صفحه موجی شکل عمودی مطالعه کردند و نشان دادند که عدد ناسلت به صورت متناوب در امتداد صفحه تغییر می­کند. طول موج تغییرات ناسلت دو برابر طول موج صفحه بوده و مقدار عدد ناسلت با افزایش لایه مرزی حرارت در پایین دست جریان کاهش می­یابد.
در سال 1991 بهاوانی و برگلس ]4[  با روش تداخل­سنج نوری ماخ – زندر مطالعه تجربی بر روی آهنگ انتقال گرمای جابجایی آزاد از روی صفحات سینوسی شکل انجام دادند. آن­ها پارامترهایی مانند نسبت دامنه به طول موج صفحه و زاویه صفحه را تغییر داده و تاثیر آن­ها را بر آهنگ انتقال گرما تجزیه و تحلیل کردند و دریافتند هرچه نسبت دامنه به طول موج صفحه افزایش می­یابد آهنگ انتقال گرما از روی صفحه کاهش می­یابد.
در سال 2001 چمخا و خالد ]5[ معادله همبسته جرم و انرژی را برای جریان جابجایی آزاد در امتداد یک ­صفحه مایل تخت به روش تشابهی حل کردند و دریافتند با افزایش شدت مکش میزان عدد ناسلت افزایش و با افزایش شدت مکش عدد ناسلت کاهش می­یابد.
در سال 2002 بل­کادی و همکاران ]6[ جریان جابجایی طبیعی درون یک حفره با صفحه موجی شکل مایل را بررسی کردند و نشان دادند با افزایش زاویه صفحه ناسلت متوسط افزایش می­یابد.
در سال 2002 وانگ ]7[ مساله جریان جابجایی ترکیبی را برای جریان غیر نیوتونی روی یک صفحه مایل موجی مورد بررسی قرار دادند . آن­ها نشان دادند در پرانتل­های بالا اثر موجی شکل صفحه روی ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت کمتر می­شود.
  در سال 2004 ملاحسین و یاﺆ ]8[ اثرتولید داخلی گرما و جذب آن را در امتداد یک صفحه موجی شکل عمودی را به روش تشابهی بررسی کردند.
در سال 2005 وانگ]9[ جریان ترکیبی را روی یک صفحه مایل موجی شکل در حضور میدان مغناطیسی برررسی کردند. آن­ها به کمک تابع جریان معادلات حاکم را بازنویسی کرده و سپس به روش تفاضل محدود مساله را حل کردند. آن­ها نشان دادند ضریب اصطکاک و عدد ناسلت با افزایش زاویه زیاد می­شود. همچنین هنگامی که عدد پرانتل افزایش می­یابد نرخ انتقال حرارت افزایش می­یابد ولی ضریب اصطکاک کاهش می­یابد.
در سال 2006 یاﺆ]10[ به بررسی انتقال حرارت در امتداد یک صفحه عمودی موجی شکل که تغییرات آن حاصل برایند دو موج سینوسی بود پرداخت . نتایج عددی او نشان می­دهد اضافه کردن موج دوم به صفحه باعث می­شود پروفیل دما و سرعت در نزدیکی صفحه به شدت تغییر کرده و میزان انتقال حرارت کاهش می­یابد.  همچنین دریافت نرخ انتقال حرارت به نسبت دامنه و فرکانس موج صفحه بستگی دارد .
در سال 2007 کانداسامی و هاشم ]11[  انتقال حرارت و انتقال جرم را برای جریان جابجایی طبیعی روی صفحه مایل در محیط هیدرومغناطیسی همراه با مکش و دمش به روش تشابهی بررسی کردند. آن­ها نشان دادند با افزایش قدرت مکش لایه مرزی سرعت و حرارت کاهش می­یابد. همچنین با افزایش پارامتر مغناطیسی لایه مرزی سرعت و حرارت افزایش می­یابد.
در سال 2007 ملا­ مامون و انور حسین ]12[ اثر تشعشع در جریان ترکیبی روی صفحه موجی شکل عمودی و به روش تفاضل محدود بررسی کردند و دریافتند عدد ناسلت با افزایش پارامتر تشعشع Rd زیاد     می­شود. همچنین با افزایش Rd ضخامت لایه مرزی سرعت و گرما افزایش می­یابد.
در سال 2010 شرما و سینگ ]13[ جریان جابجایی طبیعی را در امتداد یک صفحه عمودی هم­دما و در حضور میدان مغناطیسی همراه با رسانندگی الکتریکی متغیر برای سیال با پرانتل خیلی کوچک به روش تشابهی مورد مطالعه قرار دادند. آن­ها نشان دادند سرعت سیال و نرخ انتقال حرارت با افزایش رسانندگی الکتریکی کاهش می­یابد.
در سال 2011 توحید حسین و ریتا موجومدر ]14[ جریان جابجایی طبیعی را روی یک صفحه تخت افقی متخلخل همراه با دمش و مکش به روش تشابهی بررسی کردند. آن­ها نشان دادند با افزایش قدرت مکش ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت کاهش می­یابد . همچنین با افزایش عدد پرانتل ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت کاهش می­یابد.
در سال 2011 علیم و همکاران ]15[ رسانش گرمایی سیال در لایه مرزی را برای جریان جابجایی طبیعی روی صفحه موجی عمودی همراه با تولید گرما به روش تفاضل محدود بررسی کردند. آن­ها دریافتند ضریب اصطکاک و نرخ انتقال حرارت با افزایش تولید گرمای سطح افزایش می­یابد. به علاوه با افزایش رسانندگی گرمایی سیال در نزدیکی لبه صفحه ضریب اصطکاک محلی و ناسلت محلی افزایش می­یابد اما در پایین دست جریان این نتیجه معکوس می­شود.
در سال 2012 رضوی و پورحسین ]16[ به بررسی جریان جابجایی طبیعی روی صفحه موج­دار عمودی تک­دما با مدل جدید شار به روش حجم محدود پرداختند. آن­ها نشان دادند با موج­دار کردن صفحه عدد ناسلت متوسط کاهش می­یابد. همچنین با افزایش نسبت طول موج به دامنه عدد ناسلت متوسط افزایش می­یابد.
در سال 2013 کبیر و همکاران ]17[ به برررسی اثر اتلاف ویسکوز در محیط هیدرومغناطیسی برای جریان جابجایی طبیعی روی صفحه عمودی موج­دار به روش تشابهی پرداختند. آن­ها دریافتند با افزایش پارامتر اتلاف ویسکوز لایه مرزی سرعت و حرارت افزایش می­یابد. همچنین ضریب اصطکاک محلی و عدد ناسلت محلی با افزایش پارامتر اتلاف ویسکوز کاهش می­یابد.   
در سال 2013 عبدا… و زقماتی ]18[ به بررسی اثر تشعشع روی صفحه مایل موجی شکل برای جریان جابجایی طبیعی به روش تفاضل محدود پرداختند. آن­ها نشان دادند با افزایش دامنه نوسان صفحه ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت افزایش یافته و میزان انتقال حرارت کاهش می­یابد. همچنین با افزایش زاویه سطح ضخامت لایه مرزی سرعت و حرارت کاهش یافته و میزان انتقال حرارت افزایش می­یابد به علاوه با افزایش پارامتر تشعشع Rd ضخامت لایه مرزی حرارت و سرعت کاهش می­یابد.
در سال 2013 سیدیکا و همکاران ]19[ اثر تشعشع در جریان جابجایی طبیعی برای سیال با پرانتل خیلی کوچک را روی صفحه موجی شکل عمودی به روش تفاضل محدود مورد بررسی قرار دادند و فهمیدند با افزایش پارامتر تشعشع Rd  عدد ناسلت متوسط و ضریب اصطکاک متوسط کاهش می­یابد.
در سال 2014 سیدیکا و حسین و ساها ]20[ اثر تشعشع در جریان جابجایی طبیعی برای سیال با پرانتل خیلی کوچک را روی صفحه موجی شکل افقی به روش تفاضل محدود مورد بررسی قرار دادند و فهمیدند نرخ متوسط انتقال حرارت با افزایش دامنه نوسان صفحه کاهش می­یابد. همچنین با افزایش پارامتر تشعشع Rd نرخ متوسط انتقال حرارت و ضریب اصطکاک افزایش می­یابد.
3-1- شرح مسأله
جریان سیال ناشی از جابجایی آزاد بر روی یک صفحه موجی شکل و متخلخل در اینجا مورد تجزیه و تحلیل قرار می­گیرد . هندسه مساله در شکل (1-1) نمایش داده شده است. صفحه که با محور افقی زاویه  می­سازد توسط معادله  می­شود. در این رابطه a دامنه موج٬ L طول صفحه و n فرکانس موج صفحه می­باشند. محورهای  و  به ترتیب در جهت موازی و عمود بر دیواره می­باشند.  سرعت سیال در جهت  و  سرعت سیال در جهت  می­باشد. دیواره در دمای  و در مجاورت سیالی با دمای   و با عدد پرانتل کوچکتر از واحد ( ) (فلز مایع) قرار دارد. دیواره نفوذپذیر می­باشد . حالت مکش زمانی رخ می­دهد که مقداری از سیال از لایه مرزی به داخل دیواره کشیده شود. در حالت دمش سیال از دیواره به لایه مرزی تزریق می­شود. نیروهای حجمی موثر بر مساله نیروهای گرانشی و مغناطیسی می­باشند. اندازه میدان مغناطیسی ثابت وجهت آن عمود بر دیواره و به سمت آن است. همچنین جریان الکتریکی ایجاد شده توسط نیرو محرکه الکتریکی عمود بر صفحه کاغذ و به سمت داخل آن است در نتیجه نیروی مغناطیسی اعمال شده بر سیال طبق قانون دست راست در خلاف جهت جریان است. با تعویض قطب­های اختلاف پتانسیل٬ جهت نیروی مغناطیسی معکوس می­شود . نیروی گرانشی نیز به صورت حجمی ودر راستای عمود بر افق است. در نتیجه مولفه نیروی گرانشی در امتداد صفحه برابر با  خواهد بود.