این فصل را به بیان تعاریف اولیه كه در سرتاسر رساله به كار خواهیم برد و همچنین بیان قضایای معروفی كه از آنها استفاده خواهیم كرد، اختصاص می‌دهیم. قضایایی كه بدون اثبات آورده شده‌اند، در مقابل هر یك از آنها مرجعی مناسب معرفی شده است تا خواننده در صورت نیاز بتواند با مراجعه به آنها اثبات قضیه را مشاهده كند.

 

 

 

 

 

 

 

1-2 تعریف و مفاهیم مقدماتی

 

تعریف: فرض كنید گروه G روی مجموعه X عمل كند و در این صورت مجموعه   را پایدارساز x در G نامیده و با نماد یا  نشان می‌دهیم.

 

تعریف: عمل G روی X را انتقالی می‌گوئیم هر گاه به ازای هر  و از X عضوی از G مانند g باشد به طوری كه .

 

تعریف: عمل G روی X را انتقالی است هر گاه به ازای هر دوگانه و که در آن  و برای هر عضوی از G مانند g باشد به طوری كه  برای هر .

 

تعریف: عمل گروه G روی مجموعه X را نیمه‌منظم گوئیم هرگاه برای هر  داشته باشیم

 

{1}=

 

قضیه 1-2-1 فرض كنید گروه G روی X به طور نیمه منظم عمل كند آنگاه مرتبه G مقسوم‌علیهی از مرتبه X است.

 

برهان. به [8] رجوع شود.

 

برای یک گروه دلخواه مانند G تعداد سیلو p-زیرگروههای آن را با نماد نمایش می دهیم.

 

قضیه 1-2-2 فرض كنید G یك گروه متناهی و N یك زیرگروه نرمال G باشد، آن‌گاه  و  مقسوم‌علیهی از است و همچنین داریم.

 

برهان. به [33] رجوع شود.

 

 

 

تعریف: فرض كنید n یك عدد صحیح باشد. در این صورت ، مجموعه تمام اعداد اولی است كه n را می‌شمارد.

 

اگر G یك گروه متناهی باشد،  را همان  تعریف می‌كنیم.

 

قضیه 1-2-3 فرض كنید G یك گروه متناهی،  فرد باشد همچنین فرض كنید P  یك سیلو  زیرگروه G و  جائیكه . اگر P دوری نباشد،  آن گاه تعداد عناصر از مرتبه n گروه G مضربی از  است.

 

برهان. به [24] رجوع شود.

 

قضیه 1-2-4 فرض كنید G یك گروه متناهی . همچنین فرض كنید G دارای سری نرمال  باشد. اگر  و p مرتبه K را عاد نکند آن‌گاه نتایج زیر برقرار است:

 

1. i)

 

1. ii) یعنی ؛

iii)  به عبارت دیگر داریم  جائیكه t یك عدد صحیح مثبت است و.

 

برهان. به [27] رجوع شود.

 

تعریف: فرض كنید G یك گروه متناهی باشد و  كه در آن m و n دو عدد طبیعی متباین‌اند. هر زیرگروه G از مرتبه m را یك زیرگروه هال می‌نامند. به عبارت دیگر، زیرگروه H از G را یك زیر گروه هال گویند در صورتی كه  و  نسبت به هم اول باشد.

 

همچنین اگر کهها اعداد صحیح نامنفی و لااقل یکی مخالف صفر است و  در اینصورت H را یك  هال زیر گروه G می‌نامند.

 

قضیه 1-2-5 فرض كنید G یك گروه متناهی حلپذیر و، جائیكه و . همچنین فرض كنید  و  تعداد هال زیرگروههای G باشد، آن‌گاه  است كه به ازای هر   در شرایط زیر صدق می‌كند:

 

1. i) برای یك ؛

 

1. ii) مرتبه یكی از فاكتورهای اصلی از سری اصلی گروه G را عاد می‌كند.

برهان. به [12] رجوع شود.

 

تعریف: گروه G را با  گروه می‌نامیم هر گاه . اگر G یك گروه ساده و  آن گاه G را یك  گروه ساده می‌نامیم.

 

قضیه 1-2-6  فرض كنید G یك گروه ساده غیر آبلی باشد در این صورت .

 

برهان. بنا به قضیه برنساید هر  گروه و هر گروه از مرتبه  حلپذیرند، چون G غیرحلپذیر است پس .

 

 

 

 

 

۱- ۳  آشنایی با رده بندی گروههای ساده متناهی

 

گروههای ساده را به چهار نوع گروه رده بندی كرده اند كه در ذیل به بیان این رده بندی می پردازیم:

 

قضیه 1-۳- ۱ (قضیة رده بندی گروههای سادة متناهی)

 

گروههای ساده آبلی كه دقیقا عبارتند از كه در آن یك عدد اول است،

 

گروههای متناوب  برای ،

 

خانواده ای متنوع از گروهها از نوع لی ،

 

گروههای پراكنده كه یك مجموعة ۲۶ عضوی از گروههای ساده است.

 

 

 

قضیه 1 -۳- ۲ اگر  آنگاه ساده است.

 

برهان. به صفحة ۵۸ از [34] رجوع شود.

 

گروههای سادة متناهی از نوع لی خود به سه دسته تقسیم می شود:

 

 گروههای شوالی

 

گروههای ساده و از نوع لی هستند كه شامل ۴ خانواده نامتناهی از گروههای ساده می باشند:

 

1)                         (گروه خطی خاص تصویری)

 

2)                       (گروه یكانی خاص تصویری)

 

3)                       (گروه سیمپلكتیك تصویری)

 

4)        که درآن   (گروه متعامد تصویری)

 

  گروههای شوالی تابدار

 

كه این گروها عبارتند از:

 

،

 

برای   ؛   برای ،

 

برای  ؛   برای .

 

گروه تایت

 

گروهی ساده ومتناهی است كه زیر گروهی از گروه  می باشد که آن را با نماد  نشان می دهند.

 

 

 

برای آشنایی بیشتر با گروههای ساده چند نوع از آنها را بررسی می كنیم. چندین خانواده از گروههای كلاسیك وجود دارد كه با گروههای ماتریسی بر روی یك میدان متناهی پیوند دارند. اكنون ساده ترین این گروهها را بررسی می كنیم.

 

فرض كنید یك میدان و یك عدد طبیعی باشد. مجموعة تمام ماتریسهای معكوسپذیر  را كه درآیه های هر یك از آنها در اند را با  نمایش می دهیم. هر عضو را معمولا به صورت  می نویسیم كه در آن  درایه واقع در سطر ام و ستونام  ماتریس   است. مجموعه با عمل ضرب ماتریسها تشكیل یك گروه می دهد.

 

تعریف:  گروه  را گروه خطی عام (از درجه   بر) می نامند.

 

واضح است مجموعه تمام اعضای از كه دترمینان هر یك از آنها برابر۱ (عضو واحد میدان) است زیر گروهی از می باشد. این زیر گروه را با  نشان می دهند.

 

تعریف: گروه را گروه خطی خاص (از درجة   بر) می نامند.

 

فرض كنیم یك میدان متناهی باشد و . در این صورت گروههای و را به ترتیب با نماد و نیز نشان می دهند.