تولید حجم عظیمی از مقالات و مستندات، جامعه­ی علمی را بر آن داشت تا با بهره­گیری از مزایا و توانایی­های روش­های خودکار جهت پردازش این متون، به حوزه­ای تحت عنوان پردازش زبان­های طبیعی[1] روی آورد. همچنین با توجه به وجود لیستی از معانی کلمات و عبارات یا همان دیکشنری و حتی اختصاص موسساتی جهت تعیین نحوه­ی استفاده از یک زبان در برخی از کشورها، اینطور به نظر می­رسد که امکان مکانیزه کردن فهم یک زبان توسط کامپیوتر وجود دارد [1].

مبحث پردازش زبان­های طبیعی خود زیرمجموعه­ای از حوزه­ی گسترده­ی هوش مصنوعی است که توجهات دانشمندان و محققان فراوانی را به خود معطوف کرده است. شاید به ظاهر زبان­هایی که ما در زندگی روزمره برای ایجاد ارتباط با دیگران به کار می­گیریم، ساده باشند. اما در حقیقت این زبان­های انسانی پیچیدگی­های فراوانی دارند که همین پیچیدگی­ها منجر به شکل­گیری زیرشاخه­های متعددی همچون ترجمه­ی ماشینی[2]، بازیابی اطلاعات[3]، پردازش متون[4]، تشخیص صحبت[5]، تحلیل گرامری[6] ، رفع ابهام معنایی[7] و غیره در زمینه­ پردازش زبان­های طبیعی شده است.

در بین مباحث متفاوتی که در زمینه­ پردازش زبان­های طبیعی موجود است، برای اینجانب ابهام معنایی[8] جذابیت بیشتری داشته که در

 این پایان­نامه به این موضوع پرداخته­ام. ابهام معنایی یکی از مباحث پیچیده و در عین حال پراهمیت است که در شاخه­هایی نظیر ترجمه­ی ماشینی و بازیابی اطلاعات نیز مطرح بوده و بعنوان جزء جدایی ناپذیری از اینگونه سیستم­ها دارای ارزش و حائز اهمیت است.

در واقع این مبحث نشأت گرفته از ابهامی است که در زبان­های طبیعی نهفته است؛ هرچند که وجود این ابهام­ها در اکثر مواقع از دید انسان پوشیده است. آنچه ابهام­های موجود بین سخنگویان بومی را مرتفع می­سازد توانش زبانی آنها، اطلاعات آنها در خصوص جهان پیرامون، طرح پرسش مجدد در صورت وجود یا احساس ابهام و بطور کلی مجموعه­ای از اطلاعات زبانی و غیرزبانی است که سخنگویان بومی به آن مجهزند [40].

مسأله­ی ابهام معنایی شامل تشخیص معنای صحیح یک کلمه با توجه به متنی است که در آن آمده است و در زمینه­ پردازش زبان­های طبیعی به آن رفع ابهام معنایی گفته می­شود. این مهم در بسیاری از شاخه­های پردازش زبان­های طبیعی نیز مطرح بوده و کاربرد دارد که در این میان اصلی­ترین و مشهودترین مورد استفاده­ی آن در شاخه­ی ترجمه­ی ماشینی است. لذا در این فصل ابتدا اشاره­ی کوتاهی به گستره­ی پردازش زبان­های طبیعی و زیرشاخه­های آن داشته، سپس مختصری به شرح مفهوم ترجمه­ی ماشینی و روش­های آن می­پردازیم.

1-2- پردازش زبان­های طبیعی

پردازش زبان­های طبیعی ‌كه معمولاً به اختصار به آن NLP گفته می­شود یکی از نیازهای عصر فناوری جهت استفاده­ی بهینه از منابع اطلاعاتی است که امروزه با رشد حجم مستندات تولید شده و نیاز به نگهداری، دسته بندی، بازیابی و پردازش ماشینی و سریع آنها، توجه به این شاخه بیش از پیش خودنمایی می­کند.

زبان طبیعی، زبانی است که ما در تعاملات اجتماعی روزمره با استفاده از آن می­نویسیم و صحبت می­کنیم. زبان­های طبیعی متنوع و فراوانی وجود دارند که ممکن است فرم گفتاری و نوشتاری متفاوتی داشته باشند و از هم مستقل باشند. پردازش زبان‌ها و مکالمات طبیعی یکی از اموری‌ست که با ورود فناوری رایانه‌ای به زندگی بشر مورد توجه بسیاری از دانشمندان قرار گرفته است. حتی اندیشه‌ای که آلن تورینگ[9] از ماشین هوشمند خود و تعریفی که او از هوش مصنوعی[10] داشت، در مرحله­ی اول مربوط به پردازش زبان‌های طبیعی می­‌شد. بعلاوه تلاش‌های بسیاری توسط بشر برای پیگیری این امر صورت گرفته بود که به عنوان مثال ماشین لیزا یکی از محصولات این تلاش‌هاست. ماشین لیزا ماشینی بود که با تایپ از راه دور با یک انسان، جملات او را پردازش می‌کرد و جوابی درخور به او می‌داد.

بنابراین می­توان گفت که یکی از زیرشاخه‌های با اهمیت در حوزه­ی گسترده­ی هوش مصنوعی پردازش زبان­های طبیعی است؛ تا حدی که بسیاری از متخصصین در زمینه­ هوش مصنوعی بر این باورند كه مهمترین وظیفه­ای كه هوش مصنوعی باید به آن بپردازد NLP است. دلیلی كه ایشان برای این اعتقاد خود ارائه می­كنند آن است كه پردازش زبان طبیعی راه ارتباط مستقیم انسان و كامپیوتر را از طریق مكالمه باز می­كند. به این ترتیب دیگر برنامه نویسی معمولی و قراردادهای مربوط به سیستم­های عامل كنار گذاشته خواهد شد. همچنین ‌اگر یك كامپیوتر بتواند یك زبان انسانی را درك كرده و به وسیله­ی آن صحبت كند، دیگر به بسیاری از وظایفی كه باید توسط مهندسین نرم افزار طراحی شوند نیازی نخواهد بود. اما ابعاد و پیچیدگی­های زبان­های بشری دستیابی كامل به این قابلیت را دشوار ساخته است.

در پردازش زبان­های طبیعی، سعی می­شود تا قابلیت درك دستوراتی كه به زبان­های انسانی استاندارد نوشته شده­اند، به كامپیوتر داده شود. یعنی كامپیوتری داشته باشیم که قادر باشد زبان انسان را تحلیل كند، بفهمد و حتی بتواند زبان طبیعی تولید كند. بدیهی است كه در راستای تحقق این هدف، نیاز به دانشی وسیع از زبان است. بنابراین علاوه بر محققان علوم كامپیوتر، دانش زبان­شناسان نیز مورد لزوم می­باشد. در زمینه­ پردازش زبان­های طبیعی باید پاسخ چهار سوال زیر مورد مطالعه قرار گیرد:

1. یک زبان از چه کلماتی تشکیل شده است؟
2. چگونه کلمات ترکیب می­شوند تا جملات زبان تشکیل شوند؟
3. معنی کلمات زبان چیست؟
4. معانی کلمات چگونه به کار گرفته می­شوند تا معنی جملات ساخته شود؟

در حقیقت هدف اصلی در NLP، ماشینی کردن فرایند درک و برداشت مفاهیم بیان گردیده با یک زبان طبیعی انسانی می­باشد. به تعریف دقیق‌تر پردازش زبان‌های طبیعی عبارت است از استفاده از کامپیوتر برای پردازش زبان گفتاری و نوشتاری به نحوی که کامپیوترها از زبان طبیعی به عنوان ورودی و خروجی استفاده نمایند. بدین وسیله می‌توان به ترجمه­ی زبان‌ها پرداخت، از صفحات وب و بانک‌های اطلاعاتیِ نوشتاری جهت پاسخ دادن به پرسش‌ها استفاده کرد، یا با دستگاه‌ها مثلاً برای مشورت گرفتن به گفتگو پرداخت.

به‌ طوركلی‌ نحوه­ی كار این‌ شاخه‌ این‌ است‌ كه‌ زبان­های‌ طبیعیِ ‌انسان‌ را تقلید كند. در این‌ میان‌، پیچیدگی‌ انسان‌ از بعد روانشناسی‌ بر روی‌ ارتباط متعامل‌ تأثیر می‌گذارد. لذا پردازش زبان‌های طبیعی رهیافت بسیار جذابی برای ارتباط بین انسان و ماشین محسوب می‌شود و در صورت عملی شدنش به طور کامل، می‌تواند تحولات شگفت‌انگیزی را در پی داشته‌ باشد. شکل زیر یک شمای کلی از معماری پردازش زبان­های طبیعی را نشان می­دهد:

تاکنون دانشمندان حوزه داده کاوی تلاش­های بسیاری برای جدا­سازی صحیح نمونه­های مشابه کرده­اند. استخراج طبقه­بند­های عام[1] و قابل فهم از داده، نقش مهمی در بسیاری از حوزه­ها و مسائل است. تاکنون روش­های متعددی برای طبقه­بندی[2] و تشخیص الگو[3] معرفی شده­است. یکی از شیوه­های موفق و منحصربه­فرد در حوزه طبقه­بندی و تشخیص الگوی داده­های ورودی، استفاده از تکنیک­های فازی برای تقسیم­بندی نرم فضای ویژگی و بالطبع استفاده از یک معماری مؤثر در متصل کردن این زیر­فضاها برای تصمیم­گیری و طبقه­بندی به­صورت فازی می­باشد. طبقه­بندی فازی پروسه گروه بندی عناصر داخل مجموعه­های فازی با یک تابع عضویت[4] است[1]. در واقع، ابتدا فضای جستجو به بخش­هایی قسمت بندی می­شود به گونه ای که تمام فضا پوشش داده شود و سپس بر روی هرکدام از این زیر­فضا­ها مجموعه فازی قرار می­گیرد. اجتماعی از مجموعه­های فازی که فضای فازی نامیده می­شود، مقادیر زبانی فازی یا کلاس­های فازی را تعریف می­کند که یک شی می­تواند به آن­ها تعلق داشته باشد. پس از آن قوانین فازی اگر و آنگاه[5] با توجه به نحوه تخصیص تولید می­شوند. مدل­سازی سیستم­های فازی بصورت مجموعه­ای از این قوانین نمایش داده می­شود.

• انگیزه

 طبقه­بندی­کننده­های فازی دارای ویژگی منحصربفرد تفسیرپذیری هستند و قادرند دانش چگونگی تشخیص الگو­ها را برای یک فرد خبره بصورت یک دستورالعمل بازنمایی کنند. طبقه­بندی­کننده­های­ فازی چهار هدف اساسی را دنبال می­کنند. دقت طبقه­بندی­کننده را بیشینه کنند، طبقه­بندی­کننده­ی با بیش­ترین قابلیت تفسیر­پذیری را ایجاد نمایند، پایداری طبقه­بندی­کننده را بیشینه کنند و حساسیت به نویز را کاهش دهند. تاکنون روش­های متفاوتی برای ایجاد قوانین، نحوه تخصیص زیرفضاها، نحوه استنتاج در هر قانون و در نهایت ادغام قوانین ارائه­شده است. بدیهی است زبان طبیعی[6] محور بودن ساختار قوانین فازی علیرغم استخراج دانش، مشکل اثبات ریاضی کارایی طبقه­بندی­کننده از جمله ارائه یک کران­ بالا[7] برای خطای آموزش[8] و خطای تست[9] است. به­عبارتی افزایش عمومی­سازی[10] این طبقه­بندی­کننده­ها بصورت ریاضی مانند طبقه­بندی کننده تقویتی گروهی[11] کار بسیار دشواری است. از این­رو اغلب از روش­های مکاشفه­ای[12] و فوق مکاشفه­ای[13] به­صورت سعی و خطا در تدوین قوانین و ادغام آن­ها استفاده می­گردد، به این دلیل که زیرفضا را برای به­دست­آوردن بهترین ترکیب قوانین جستجو می­کنند [2]-[4] . ایشیبوشی[14][5] روشی را برای تخصیص فضا به­صورت تقسیم­بندی منظم و تکراری ارائه کرد که می­توان از این روش به­عنوان یکی از موثرترین روش­های طبقه­بندی­کننده فازی که مبنای بسیاری از تحقیقات

 بعدی در این زمینه نیز شد، نام برد.

• شرح مسئله

پروسه یادگیری یک سیستم طبقه­بندی فازی باید مسایل مختلفی را حل کند تا یک سیستم طبقه­بندی زبانی را با یک رفتار صحیح ایجاد نماید. از جمله اینکه بتواند، 1- مجموعه­ای از قوانین فازی را ایجاد کند که دارای یک سطح لازم همکاری بین این قوانین فازی باشد. 2- انتخاب یک تابع استنتاج که روشی را برای ترکیب اطلاعات به­دست آمده از قوانین فازی در کلاسه­بندی نمونه­ها انتخاب می­کند. 3- در مسایل با ابعاد بالا، قوانین فازی از رشد نمایی در سایزشان رنج می­برند. دو مسئله اول، مربوط به پروسه استخراج دانش می­شود که با پردازش­های یادگیری مختلف براساس الگوریتم­های تکرار­شونده  مانند شبکه­های عصبی مصنوعی[5-6] یا الگوریتم ژنتیک [2-4]قابل حل است. گزینه سوم از دو جهت می­توان مدیریت کرد: با فشرده­سازی و کاهش مجموعه قوانین، قوانین غیرضروری را با هدف ایجاد یک سیستم طبقه­بندی با کارایی بالاتر حذف کرد. و راهکار دوم با پروسه انتخاب ویژگی انجام می­گیرد.

به طور کلی، هدف مسئله، فراهم کردن یک چارچوب کلی برای تکامل قوانین فازی است. راهکار­های بسیاری در این زمینه ارائه شده، اما همه آن­ها حداقل در یکی از موارد زیر تفاوت دارند، تعداد قوانینی که در هر عضو جمعیت کد می­شود، نوع بیان قوانین کد­شده در هر عضو و نوع و هدف پروسه تکاملی .[7-8] این الگوریتم‌ها شامل الگوریتم‌های ژنتیک[15]، بهینه‌سازی گروه ذرات[16]، گداختگی شبیه‌سازی شده[17] و… می‌باشند.

از آنجایی که الگوریتم­های تکاملی[18] به­صورت چند­عاملی[19] جستجو را در فضای ویژگی انجام می­دهند، نحوه گردش آن­ها تا حد ممکن به­صورت تصادفی می­باشد. این خواص، الگوریتم­های تکاملی را به ابزار قوی برای انواع مسائل بهینه­سازی تبدیل نموده است.[2], [4]  از جمله مسائل مطرح در زمینه بهینه­سازی، بهینه­سازی ساختار و پارامتر­های طبقه­بندی­کننده­ها می­باشد. بدیهی است هرچه یک طبقه­بندی­کننده­ پارامتر­های بیش­تری داشته باشد، تنظیم بهینه این پارامتر­ها به­صورت دستی کاری بسیار دشوار، و در بعضی حالات­ غیرممکن می­باشد. بدین خاطر از الگوریتم­های تکاملی برای یادگیری پارامتر­ها و تعیین ساختار طبقه­بندی­کننده­های متفاوت به­صورت فراوان استفاده شده است. از جمله این تحقیقات می­توان به بهبود ساختار شبکه عصبی توسط الگوریتم ژنتیک اشاره کرد [9] که الگوریتم ژنتیک سعی در هرس کردن ارتباط بین نورون­ها و به­نوعی لایه­بندی آن­ها به منظور بهبود کارایی طبقه­بندی، دارد.

مزیت ترکیب قوانین فازی و الگوریتم­های تکاملی این است که مجموعه قوانین ایجاد­شده دارای تفسیر­پذیری بیش­تری هستند و می­توانند با عدم قطعیت[20] و ابهام مقابله کنند و همچنین می­توانند به صورت اکتشافی فضای ویژگی را جستجو کنند. به عنوان مثال در بخش ورودی نحوه تخصیص­بندی فضاها و همچنین تعیین پارامتر­های توابع عضویت (مانند شیب و واریانس)، از الگوریتم­های تکاملی استفاده شده است[10].

چالش­ها

با توجه به این که اغلب روشهای عمده و شناخته شده محاسبات تکاملی، شبیه‌سازی کامپیوتری فرایندهای طبیعی و زیستی هستند، در این نوشتار، از یک روش ترکیبی برای بهبود طبقه­بندی­کننده­های فازی ارائه می­شود که برای بهبود یادگیری پارامتر­های آن الگوریتم تکاملی رقابت استعماری [11] اقتباس شده است. این پایان­نامه، الگوریتم رقابت امپریالیستی [21]را برای هدف استخراج کلاسه­بند­های عام و قابل فهم از داده در شکل یک سیستم قانون ارائه می­کند. در این تحقیق سعی در ارائه ساختار جدیدی بر روی بستر فازی هستیم که در آن ساختار، توزیع قوانین از الگوریتم رقابت استعماری[22] اقتباس شده و لیکن روح قوانین به­صورت فازی است. ضمنأ به­دلیل ایجاد هارمونی مناسب در بهینه­سازی ساختار قوانین و همچنین ادغام قوانین، استفاده از الگوریتم بهینه­سازی رقابت استعماری پیشنهاد می­شود.

در این الگوریتم چند نمونه که دارای میزان برازندگی[23] بالایی می­باشند (امپریالیست[24]) و مرکز امپراطوری­ها هستند، سعی در کشاندن بقیه نمونه­ها (مستعمره)[25] به سمت خود دارند. این الگوریتم را می­توان نوع بهبود یافته الگوریتم ازدحام ذرات در نظر گرفت. لازم به ذکر است که الگوریتم ازدحام ذرات علیرغم سرعت همگرایی بالای آن، احتمال بایاس شدن آن بسیار زیاد می­باشد. چون میزان تصادفی بودن[26] آن در حین جستجو پایین بوده و بسیار بایاس­دار حرکت می­کند. درصورتیکه الگوریتم رقابت استعماری این مسئله را به این شیوه حل کرده است که هر نمونه به­جای حرکت در جهت برآیند دو نقطه با برازندگی­های مناسب، به یکی از چند نقطه­ای اختصاص داده می­شود که بهینه محلی (امپریالیست) اطلاق می­شوند.

 از آن­جا که ساختار این الگوریتم به­صورت چند­حوزه­ای می­باشد، بکارگیری آن برای ساختار­بندی قوانین فازی این خاصیت را به­همراه خواهد داشت که یک مجموعه قوانین بر روی یک زیرفضا کار کند نه تنها روی یک قانون. به­عبارت دیگر استفاده از یک قانون برای تصمیم­گیری درمورد یک زیرفضا حتی با داشتن هم­پوشانی[27] با زیرفضاهای همسایه باعث خاص[28] شدن آن قانون و به­نوعی بایاس قانون و آن زیرفضای خاص شده و در مورد سایر نمونه­هایی که دور از آن زیرفضا هستند، نمی­تواند تصمیم­گیری مناسبی را به­عمل آورد که همین امر باعث بیش­سازگاری[29]و کمبود عمومی­سازی توابع فازی می­گردد. در مقابل، الگوریتم یادگیری استعماری از تخصیص یک قانون به یک زیرفضای خاص جلوگیری کرده و حتی زیرفضاهایی که یک مستعمره از قوانین درباره آن تصمیم می­گیرند، دارای ابعاد بسیار وسیع­تری نسبت به زیرفضای تخصیص­شده به هر قانون در مقایسه با روش­های قبلی دارد. ضمنأ هنگامی­که قوانین به­صورت دسته­های مختلفی از مستعمره­های متفاوت بر روی کل فضا عمل می­کنند، می­توان آن را جزو الگوریتم­های توزیع­شده در نظر گرفت. توانایی بهینه­سازی این الگوریتم نسبت به الگوریتم­های بهینه­سازی پیشین هم­تراز و یا حتی بالاتر است و سرعت رسیدن به جواب بهینه نیز مناسب است.

اهداف پایان­نامه

در این رساله می­خواهیم یک مجموعه از قوانین انعطاف­پذیر فازی را با استفاده از الگوریتم رقابت استعماری که پیش از این ذکر شد، ایجاد نماییم. با این هدف که کارایی طبقه­بندی­کننده و تفسیر پذیری قوانین تولید شده حداکثر شود و در عین­حال نویز پذیری کمینه نسبت به طبقه­بندی­کننده­های آماری و نیز عمومی­سازی بسیار مناسبی را ارائه نماید. در واقع در این مسئله می­خواهیم مجموعه­ای از بهترین قوانین با انعطاف پذیری بالا که بیانگر انتخاب بهترین ویژگی­هاست را با استفاده از الگوریتم نوپای رقابت استعماری به­دست آوریم. نکته مهم در این رساله، نحوه تخصیص زیرفضا، ساخت قوانین و در نهایت ادغام آن­ها در یک پروسه بهینه­سازی استعماری است. به­طور­کلی در این پژوهش:

• چندین طرح کلی کدگذاری برای نمایش قوانین به شکل رشته­ای از بیت­ها ارائه می­دهد.
• یک تابع برازش برای ارزیابی کارایی اعضا یا همان قوانین فازی تعریف می­کند.
• تصحیحی در عملگر­های الگوریتم رقابت استعماری برای استفاده بهینه در سیستم­های فازی ارائه می­دهد.
• زیرفضای تخصیص­داده­شده برای هر قانون را توسعه می­دهد و درنتیجه افزایش نسبی عمومی­سازی را منجر می­شود.

مطالب مربوط به این رساله در پنج فصل به شرح زیر می‌باشد.

فصل دوم. در این فصل تحقیقات انجام شده را بحث می­کند و برای هر روش مزایا و معایب آن­ها را به­صورت جداگانه برمی­شمرد.‌

فصل سوم. در این فصل متدولوژی که عبارتند از روش­های ارائه شده و روش­های پیشین را به صورت فرمولی و شبه کد توضیح می­دهد.

فصل چهارم. در فصل چهارم نتایج به­دست آمده ارائه می­شود.

فصل پنجم. کار­های پیش رو و اهداف آینده بررسی می­شود.

حرکت اخیر سازمانها به ویژه سازمانهای پولی–مالی به سمت جامعه اطلاعاتی نقش موثر و تحول آفرین فناوری اطلاعات در این زمینه باعث شده است بانک ها به عنوان نهاد مالی و اعتباری مهم در هر نظام اقتصادی برای بقاء خود در عصر اطلاعات استانداردسازی امنیت اطلاعات را برای اجرای موثر و مناسب مورد توجه ویژه قرار دهند.

در راستای ارتقاء سلامت بانکداری اینترنتی، مشکل اساسی امنیت فضای تبادل اطلاعات بوده به صورتیکه در هر لحظه حجم زیادی از رخدادهای امنیتی در این فضا در حال وقوع می باشد. با توجه به اهمیت پاسخگویی به رخدادهای فضای تبادل اطلاعات داده و ایجاد مراکز پاسخگویی به رخدادهای امنیت کامپیوتر الزامی به نظر می رسد.

بروز رخدادهای در شبکه­های رایانه­ای سازمانی اجتناب ناپذیر است. از این رو سازمان­ها سعی می­کنند با به کارگیری روش­هایی از بروز رخدادهای امنیتی تا حد امکان جلوگیری کرده و در صورت بروز رخداد، آن را به سرعت تشخیص داده و رفع نمایند. به این روش­ها، مدیریت رخدادهای گفته می­شود. وظیفه مدیریت رخدادهای در سازمان­ها به عهده گروه­های واکنش به رخدادهای رایانه­ای می با­شد که در این سند به عنوان گروه­های واکنش رخداد نامیده می­شوند.

از طرفی زیرساخت­های فناوری کشور نیاز به وارسی و به کارگیری مکانیزم­های امنیتی دارد و از طرف دیگر ساختاری برای هماهنگ شدن سازمان ها و گروه های امنیتی مختلف در زمان بروز رخدادهای نیاز است. یکی از قدم­های کارا برای رفع این  نیازها تشکیل و تقویت گروه­های واکنش رخداد و تسلط آن­ها بر مدیریت رخدادهای است.

***ممکن است هنگام انتقال از فایل اصلی به داخل سایت بعضی متون به هم بریزد یا بعضی نمادها و اشکال درج نشود ولی در فایل دانلودی همه چیز مرتب و کامل و با فرمت ورد موجود است***

متن کامل را می توانید دانلود نمائید

چون فقط تکه هایی از متن پایان نامه در این صفحه درج شده (به طور نمونه)

ولی در فایل دانلودی متن کامل پایان نامه

 با فرمت ورد word که قابل ویرایش و کپی کردن می باشند

موجود است

:

در این پایان نامه ابتدا به بررسی وجود یک جواب غیربدیهی برای مسأله بیضوی غیرخطی  نوع -لاپلاسین که به صورت

تعریف می شود، می پردازیم که در آن ، ،  ، زمانی که ،  به ثابت مثبت  میل می کند و .

برای دست یافتن به جواب این مسأله، به جمع آوری نتایجی در قالب چند لم می پردازیم و نتیجه ی اصلی خود را در قالب دو قضیه مطرح می کنیم و با تکیه بر نتایج به دست آمده به اثبات این قضیه ها می پردازیم.

در ادامه به بررسی وجود جواب های چندگانه برای مسأله ی بیضوی غیرخطی از نوع -لاپلاسین زیر، همراه با شرایط مرزی، در فضای سوبولف می پردازیم.

این مسأله به صورت

تعریف می شود که در آن  یک دامنه ی کراندار است ،  ،  نمای بحرانی سوبولف است و  است. می خواهیم ثابت کنیم که اگر داشته باشیم  آنگاه یک  وجود دارد طوری که برای هر  مسأله  دارای جواب است.

برای این منظور نتیجه ی اصلی خود را در قالب یک قضیه مطرح می نماییم سپس جهت اثبات این قضیه به جمع آوری برخی نتایج اولیه در قالب چند لم و یادآوری برخی مفاهیم از نظریه مینی ماکس می پردازیم.

کلمات کلیدی: -لاپلاسین، وجود، جواب غیر بدیهی، جواب های چند گانه، نمای بحرانی.

پیشگفتار:

آنالیز یکی از مهم ترین و تواناترین شاخه های ریاضیات است که رهگشای بسیاری از مسائل ریاضی، فیزیک، مهندسی، مکانیک، مکانیک اتمی و کوانتومی جدید است. در این بین نقش معادلات دیفرانسیل در علوم دیگر انکار ناپذیر است، بدون تردید معادلات دیفرانسیل یکی از بخش های عمده ی ریاضیات است و با توجه به کاربرد ریاضیات و به خصوص معادلات دیفرانسیل در شناخت علوم دیگر و توجیه پدیده های علمی، این بخش از ریاضیات دانشمندان زیادی را مجذوب خود کرده است.

به دلیل کاربرد گسترده ی این شاخه از علم ریاضی در علوم طبیعی، کارهای اساسی روی برخی انواع معادلات انجام شده است. یکی از عملگرهای مرتبط با بسیاری از مسائل مربوط به معادلات دیفرانسیل، عملگر لاپلاسین می باشد که بسیاری از پدیده های فیزیکی و زیست شناسی و … توسط معادلات مرتبط با این عملگر مدل سازی می شوند.

این نوع معادلات در رده ی معادلات دیفرانسیل بیضوی همراه با شرایط مختلف مرزی قرار می گیرند که یکی از شاخه های بسیار کاربردی معادلات دیفرانسیل می باشد و همواره نظر بسیاری از دانشمندان علوم مختلف، به خصوص ریاضیدانان را به خود جلب کرده است.

تألیف کتب و مقالات متعدد پیرامون این موضوع که هم اینک با رشد فزاینده ای ادامه دارد، دلیل انکار ناپذیر این مدعاست.