:

در این پایان نامه ابتدا به بررسی وجود یک جواب غیربدیهی برای مسأله بیضوی غیرخطی  نوع -لاپلاسین که به صورت

تعریف می شود، می پردازیم که در آن ، ،  ، زمانی که ،  به ثابت مثبت  میل می کند و .

برای دست یافتن به جواب این مسأله، به جمع آوری نتایجی در قالب چند لم می پردازیم و نتیجه ی اصلی خود را در قالب دو قضیه مطرح می کنیم و با تکیه بر نتایج به دست آمده به اثبات این قضیه ها می پردازیم.

در ادامه به بررسی وجود جواب های چندگانه برای مسأله ی بیضوی غیرخطی از نوع -لاپلاسین زیر، همراه با شرایط مرزی، در فضای سوبولف می پردازیم.

این مسأله به صورت

تعریف می شود که در آن  یک دامنه ی کراندار است ،  ،  نمای بحرانی سوبولف است و  است. می خواهیم ثابت کنیم که اگر داشته باشیم  آنگاه یک  وجود دارد طوری که برای هر  مسأله  دارای جواب است.

برای این منظور نتیجه ی اصلی خود را در قالب یک قضیه مطرح می نماییم سپس جهت اثبات این قضیه به جمع آوری برخی نتایج اولیه در قالب چند لم و یادآوری برخی مفاهیم از نظریه مینی ماکس می پردازیم.

کلمات کلیدی: -لاپلاسین، وجود، جواب غیر بدیهی، جواب های چند گانه، نمای بحرانی.

پیشگفتار:

آنالیز یکی از مهم ترین و تواناترین شاخه های ریاضیات است که رهگشای بسیاری از مسائل ریاضی، فیزیک، مهندسی، مکانیک، مکانیک اتمی و کوانتومی جدید است. در این بین نقش معادلات دیفرانسیل در علوم دیگر انکار ناپذیر است، بدون تردید معادلات دیفرانسیل یکی از بخش های عمده ی ریاضیات است و با توجه به کاربرد ریاضیات و به خصوص معادلات دیفرانسیل در شناخت علوم دیگر و توجیه پدیده های علمی، این بخش از ریاضیات دانشمندان زیادی را مجذوب خود کرده است.

به دلیل کاربرد گسترده ی این شاخه از علم ریاضی در علوم طبیعی، کارهای اساسی روی برخی انواع معادلات انجام شده است. یکی از عملگرهای مرتبط با بسیاری از مسائل مربوط به معادلات دیفرانسیل، عملگر لاپلاسین می باشد که بسیاری از پدیده های فیزیکی و زیست شناسی و … توسط معادلات مرتبط با این عملگر مدل سازی می شوند.

این نوع معادلات در رده ی معادلات دیفرانسیل بیضوی همراه با شرایط مختلف مرزی قرار می گیرند که یکی از شاخه های بسیار کاربردی معادلات دیفرانسیل می باشد و همواره نظر بسیاری از دانشمندان علوم مختلف، به خصوص ریاضیدانان را به خود جلب کرده است.

تألیف کتب و مقالات متعدد پیرامون این موضوع که هم اینک با رشد فزاینده ای ادامه دارد، دلیل انکار ناپذیر این مدعاست.