در این فصل برخی مفاهیم و نتایج در مورد مجموعه‌های ناهموار و مجموعه‌های ناهموار (فازی) كه در سایر فصول مورد استفاده قرار می‌گیرد را ارائه می‌كنیم.

برای كسب اطلاعات جامع‌تر در مورد این مفاهیم به [2] و [3] و [6] و [1] و [15] مراجعه شود.

1-2- مجموعه‌های ناهموار

1-2-1- یادآوری

– به گردایه‌ای از اشیاء دوبدو متمایز مجموعه گوئیم.

– اگر A,B دو مجموعه باشند به  ضرب دكارتی A در B گوییم.

– هر زیر مجموعه‌ی   یك رابطه از  A به B نامیده می‌شود. اگر A=B باشد، به هر زیر مجموعه   یك رابطه روی A گفته می‌شود. اگر R رابطه‌ای روی  A باشد و  می‌نویسیم aRb.

– اگر R رابطه‌ای روی A باشد، وارون R به ‌صورت  و متمم R به ‌صورت  نمایش داده می‌شود.

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A بازتابی است یعنی:   

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A تقارنی است یعنی: 

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A ترایایی است یعنی:

– رابطه‌ی R روی مجموعه‌ی A هم‌ارزی است یعنی، بازتابی، تقارنی و ترایایی است.

– اگر R رابطه‌ی هم‌ارزی روی مجموعه A باشد، به   كلاس هم‌ارزی a یا كلاس هم‌ارزی R تولید شده توسط a گوییم.

– فرض كنید U یك مجموعه‌ی مرجع ناتهی باشد. مجموعه‌ی توانی U را با P(U) نمایش می‌دهیم.

– برای هر ، متمم مجموعه‌ی X را با XC نشان می‌دهیم، كه به‌صورت UX تعریف می‌شود.

1-2-2- تعریف [1]

زوج  كه در آن  و  یك رابطه‌ی هم‌ارزی روی U است، یك فضای تقریب نامیده می‌شود.

1-2-3- تعریف [1]

فرض کنید  یک فضای تقریب دلخواه باشد، برای تعریف تقریب ناهموار، نگاشت  را تعریف می‌كنیم، با ضابطه‌‌ی:

 می باشد كه به‌ طوریكه  و  را تقریب ناهموار پایینی از X در  می‌نامیم و  را تقریب ناهموار بالایی از X در   می‌نامیم.

1-2-4- تعریف [1]

برای هر فضای تقریب ،  مجموعه‌ی ناهموار نامیده می‌شود اگر و تنها اگر برای بعضی از ، .

1-2-5- مثال

فرض كنید  یك فضای تقریب باشد، به‌طوریكه:

 و رابطه‌ی هم‌ارزی  با كلاس‌های هم‌ارزی زیر داده

شده باشد:

اگر  یک مجموعه باشد آنگاه  و و بنابراین  یك مجموعه‌ی ناهموار است.

1-2-6- مثال

فرض كنید یك فضای تقریب باشد به طوری كه  و رابطه‌ی هم‌ارزی  به صورت زیر باشد.

اگر I={0.1.2.3.4.6.10.11} باشد آنگاه و .

1-2-7- تعریف [1]

زیر مجموعه X از U تعریف‌پذیر نامیده می‌شود اگر  .

1-2-8- مثال

اگر  همان فضای تقریب مثال 1-2-6 باشد و  باشد آنگاه  و بنابراین  تعریف‌پذیر است.

1-2-9- توجه

اگر  با كلاس هم‌ارزی P و ، آنگاه

 1-  بدین معنی است كه x قطعاً در كلاس P قرار دارد.

2-  بدین معنی است كه x احتمالاً در كلاس P قرار دارد.

(3)  بدین معنی است كه x قطعاً در كلاس P قرار ندارد.

1-2-10- تعریف

زمانی كه ، گوییم A(C) یك زیر مجموعه‌ی ناهموار از A(B) است.

فرض كنید A© و A(B) دو مجموعه‌ی ناهموار باشند ، اگر و تنها اگر  و .

1-2-11- تعریف

متمم مجموعه‌ی ناهموار A© را با  نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌شود:

همچنین  را به صورت زیر تعریف می‌كنیم:

1-2-12- مثال

اگر  كلاس‌های هم‌ارزی به شرح زیر می‌باشد.