مفهوم گروه‌وارها در هندسه دیفرانسیل در سال 1950 توسط اریزمن[1] مطرح شد که در واقع تعمیمی از گروه‌ها می‌باشد.یکی از نظریه‌هایی که بر مبنای گروه‌وارها می‌توان ساختارهای آن را مشخص کرد، نظریه‌ی فضاهای پوششی است. این نظریه یکی از مهم‌ترین نظریه‌ها در توپولوژی جبری است که با مطالعه‌ی رسته‌ها، گروه‌وارها و روابط بین آن‌ها در فضاهای پوششی، مفهوم پوشش بامعنا می‌شود که این روابط توسط براون[2]، هاردی[3]، آیسن[4] و موسوک[5] در مراجع [2,6,9,10,14,16]، مورد بررسی قرار گرفته است. در سال 1971، هایگنز نشان داد نظریه‌ی گروه­وارهای پوششی نقش مهمی را در عملکرد گروه‌وارها ایفا می‌کنند. در این نظریه دو نتیجه‌ی مهم و کلیدی وجود دارد که بررسی توپولوژیکی این دو نتیجه، در سال 1976 توسط براون و هاردی در مرجع [2]، بیان شده است. طی این بررسی براون در سال 2006 در مرجع [1]، هم‌ارزی رسته‌ی  از پوشش­های توپولوژیکی  و رسته‌ی از گروه‌وارهای پوششی گروه­وار بنیادی  را برای فضای توپولوژیکی  که دارای پوشش جهانی می‌باشد، نشان داد.

 

در سال 1998، در مرجع [14]، موسوک نظریه‌ی حلقه-گروه‌وار را تعریف کرد. علاوه بر آن ثابت کرد که برای حلقه‌ی توپولوژیکی ،  یک حلقه-گروه‌وار می‌شود. سپس هم‌ارزی رسته‌ی  از پوشش‌های حلقه‌ای توپولوژیکی  و رسته‌ی  از پوشش‌های حلقه-گروه‌واری  را نشان داد.

 

در فصل اول این پایان‌نامه، مفاهیمی از توپولوژی جبری مانند هموتوپی، هموتوپی‌راهی و اولین گروه بنیادی را بیان می‌کنیم. سپس تعاریفی از نگاشت‌های پوششی، بالابرها، رسته‌ها و تابع­گون‌ها می‌آوریم و در آخر به مفاهیمی از فضاهای توپولوژیکی، گروه‌ها وحلقه‌ها می‌پردازیم.

 

در فصل دوم، گروه‌وارها و گروه‌وارهای توپولوژیکی را معرفی می‌نماییم، سپس مفاهیمی از هموتوپی و اولین گروه بنیادی روی گروه‌وارها را مورد بررسی قرار می‌دهیم.

 

در فصل سوم، عمل گروه‌وار روی یک مجموعهمانند ، مدول‌ ضربی گروه‌واری و -فضاها را مطرح می‌کنیم و نشان می‌دهیم رسته‌ی  از پوشش‌های توپولوژیکی، با رسته‌ی  از – فضاها هم‌ارز می‌باشد.

 

در فصل چهارم، حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی، ایده‌آل‌های حلقه-گروه‌واری و قضایای مربوط به آن‌ها مورد بحث قرار می‌گیرد. همچنین در این فصل، ثابت می‌شود که گروه‌وار بنیادی ، یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی است که از این مطلب در فصل پنجم برای تعریف رسته‌ها و هم‌ارزی بین آن‌ها استفاده می‌شود.

 

در فصل پنجم به معرفی رسته‌هایی در فضاهای پوششی و همچنین رسته‌هایی از پوشش‌های گروه‌واری می‌پردازیم و به کمک بالابرها هم‌ارزی بین ، که یک زیررسته‌ی کامل از  می‌باشد و  که یک زیررسته‌ی کامل از  می‌باشد، را نشان می‌دهیم. در نهایت نگاشت بالابرنده روی گروه‌وارهای پوششی را تعریف می‌کنیم.

 

تعاریف وقضایای استنادی

 

 تعریف 1-1. توپولوژی گردایه‌ای مانند از زیرمجموعه‌های است که در شرایط زیر صدق می‌کند.

 

1- و  متعلق به  ‌باشند.

 

2-  اجتماع اعضای هر زیرگردایه‌ی ،  متعلق به ‌باشد.

 

3-  مقطع اعضای هر زیرگردایه‌ی متناهی ، متعلق به ‌ باشد.

 

 تعریف 1-2. فضای توپولوژیک

 

مجموعه‌ی را که برای آن توپولوژیی مانند  مشخص شده است، فضای توپولوژیک می‌نامیم.

 

 تعریف 1-3. پایه‌ی یک توپولوژی

 

فرض کنید  یک مجموعه باشد. یک پایه‌ی توپولوژی‌ در  گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های  (موسوم به اعضای پایه) می‌باشد به‌طوری‌که:

 

1- به ازای هر ، دست‌کم یک عضو پایه مانند  شامل  موجود است.

 

2- اگر  متعلق به مقطع دو عضو پایه مانند و  باشد، آن‌گاه عضوی از پایه مانند  وجود دارد به طوری‌که  و .

 

 تعریف 1-4. اگر ? پایه‌ی توپولوژی در باشد، آن‌گاه ، توپولوژی تولید شده به وسیله‌ی ?، چنین تعریف می‌شود:

 

زیرمجموعه‌ی  از  را در  باز گوییم(یعنی عضوی از  باشد)، اگر به‌ازای هر ، عضوی از پایه مانند ?  وجود داشته باشد به طوری‌که  و .

 

بنابر تعریف بالا، هر عضو ? در  باز است، بنابراین ?.

 

 تعریف 1-5. توپولوژی حاصل‌ضربی

 

فرض کنید  و  دو فضای توپولوژیک باشند. توپولوژی حاصل‌ضربی در توپولوژی است که پایه‌ی آن گردایه‌ی ? متشکل از همه‌ی مجموعه‌هایی به صورت است که در آن زیرمجموعه‌ی بازی از و زیرمجموعه‌ی بازی از است.

 

 قضیه 1-6. اگر ? پایه‌ای برای توپولوژی و ? پایه‌ای برای توپولوژی باشد، آن‌گاه گردایه‌ی

 

پایه‌ای برای توپولوژی است.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 114 مراجعه کنید.

 

تعریف 1-7. توپولوژی زیرفضایی

 

فرض کنید یک فضای توپولوژیک با توپولوژی  باشد. اگر زیرمجموعه‌ای از باشد، گردایه‌ی

 

                                                 

 

یک توپولوژی در است و به توپولوژی زیرفضایی موسوم است. با این توپولوژی، را یک زیرفضای می‌خوانند.

 

لم 1-8. اگر ? پایه‌ای برای توپولوژی باشد، آن‌گاه گردایه‌ی

 

 پایه‌ای برای توپولوژی زیرفضایی است.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 116 مراجعه کنید.

 

 قضیه 1-9. اگر زیرفضایی از و زیرفضایی از باشد، آن‌گاه توپولوژی حاصل‌ضربی در  همان توپولوژیی است که در به عنوان یک زیرفضای القاء می‌شود.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 118 مراجعه کنید.

 

 تعریف 1-10. نگاشت خارج‌قسمتی

 

فرض کنید و دو فضای توپولوژیک باشند و نگاشتی پوشا باشد. نگاشت را یک نگاشت خارج‌قسمتی خوانیم در صورتی‌که هر زیر‌مجموعه‌ی مانند در باز است اگر و فقط اگر در باز باشد.

 

تعریف 1-11. توپولوژی خارج قسمتی

 

اگر  یک فضا، یک مجموعه و یک نگاشت پوشا باشد، آن‌گاه تنها یک توپولوژی در وجود دارد که  نسبت به آن، نگاشت خارج‌قسمتی است. این توپولوژی به توپولوژی خارج‌قسمتی القاء شده توسط موسوم است.

 

البته توپولوژی چنین تعریف می‌شود که آن را متشکل از زیرمجموعه‌هایی مانند از می‌گیریم که در باز باشد.

 

تعریف 1-12. توپولوژی جعبه‌ای

 

فرض کنید خانواده‌ی اندیس‌داری از فضاهای توپولوژیک باشند. گردایه‌ی همه‌ی مجموعه‌های به صورت را که به‌ازای هر ، مجموعه‌ی در باز است، به عنوان یک پایه برای توپولوژی‌ای در فضای حاصل‌ضربی اختیار می‌کنیم. توپولوژی تولید‌شده به وسیله‌ی این پایه را توپولوژی جعبه‌ای می‌نامیم.

 

تعریف 1-13. مقایسه‌ی توپولوژی جعبه‌ای و حاصل‌ضربی

 

یک پایه‌ی توپولوژی جعبه‌ای در ، همه‌ی مجموعه‌های به شکل  است که در آن به‌ازای هر ، مجموعه‌ی در باز است. توپولوژی حاصل‌ضربی در ،

 

 همه‌ی مجموعه‌های به شکل است که در آن به‌ازای هر ، مجموعه‌ی در باز است و به‌ استثنای عده‌ای متناهی از ها،  مساوی است.

 

نکته 1-14. برای حاصل‌ضرب‌های متناهی این دو توپولوژی دقیقاً یکی هستند.

 

تعریف 1-15. نگاشت پیوسته

 

اگر به‌ازای هر و هر همسایگی مانند ، یک همسایگی مانند یافت شود به طوری‌که ، آن‌گاه نگاشت را پیوسته گوییم.

 

قضیه 1-16. فرض کنید ، و فضاهای توپولوژیک باشند.

 

1– اگر زیرفضایی از باشد، آن‌گاه تابع احتوای پیوسته است.

 

2– اگر و پیوسته باشند، آن‌گاه تابع مرکب نیز پیوسته است.

 

3– اگر تابع پیوسته و زیر‌فضایی از باشد، آن‌گاه تابع تحدید نیز پیوسته است.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 139 مراجعه کنید.

 

تعریف 1-17. فرض کنید  با ضابطه‌ی و  با ضابطه‌ی تعریف‌شده باشند. نگاشت‌های و ، به‌ترتیب نگاشت‌های تصویری  به روی عوامل اول ودوم خوانده می‌شوند.

 

لم 1-18. نگاشت‌های تصویری و ، پیوسته و پوشا می‌باشند.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه‌ی 115 مراجعه کنید.

 

قضیه 1-19. لم چسب

 

فرض کنید و  و در بسته باشند. به علاوه، فرض کنید و پیوسته باشند. در این‌صورت اگر به ازای هر ، داشته باشیم ، آن‌گاه می‌توان و را با هم در‌آمیخت تا تابع پیوسته‌ی را به‌دست آورد که به‌ازای ، به‌صورت و به‌ازای ، به‌صورت تعریف شود.

 

برهان. به مرجع [17]، مراجعه کنید.

 

تعریف 1-20. نگاشت همئومورفیسم

 

فرض کنید  و  دو فضای توپولوژیکی باشند و تابع تناظری دوسویی باشد. اگر و تابع معکوس آن   ، هر دو پیوسته باشند، آن‌گاه را همئومورفیسم می‌خوانیم.

 

تعریف 1-21. هموتوپی

 

فرض کنیم  و نگاشت‌های پیوسته‌ای از فضای  به فضای  باشند.  را با هموتوپ گوییم در صورتی‌که نگاشت پیوسته‌ای مانند  موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر ، داشته باشیم:

 

جایی‌که . نگاشت را یک هموتوپی بین  و می‌نامیم. اگر  با هموتوپ باشد می‌نویسیم .

 

 تعریف 1-22. مسیر در فضای توپولوژیکی

 

اگر  نگاشت پیوسته‌ای باشد به‌طوری‌که و ، گوییم مسیری در  از به است. همچنین را نقطه‌ی آغاز و را نقطه‌ی انجام مسیر   می‌نامیم.

 

 تعریف 1-23. هموتوپ‌راهی

 

مسیرهای  و که بازه  را به فضای می‌نگارند، هموتوپ‌راهی گوییم در صورتی‌که هر دو دارای نقطه‌ی آغازی ونقطه‌ی انجامی باشند ونگاشت پیوسته‌ای مانند موجود باشد به‌طوری‌که به‌ازای هر داشته باشیم:

 

را یک هموتوپ‌راهی بین و می‌نامیم. اگر با هموتوپ‌راهی باشد می‌نویسیم .

 

لم 1-24. رابطه‌های  و  روابط هم‌ارزی هستند.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه 320 رجوع کنید.

 

تعریف 1-25. کمند در فضای توپولوژیکی

 

فرض کنید یک فضای توپولوژیکی و نقطه‌ای از آن باشد. مسیری در  که از شروع و به منتهی می‌شود، یک کمند بر پایه‌ی  نامیده می‌شود.

 

تعریف 1-26. اگر مسیری در از  به  و  مسیری دیگر در  از  به  باشد، آن‌گاه ترکیب  و  را به عنوان مسیری مانند  با تساوی زیر تعریف می‌کنیم:

 

تعریف 1-27. اولین گروه بنیادی

 

مجموعه رده‌های هموتوپی‌راهی کمندهای بر پایه‌ی ، با عمل  اولین گروه بنیادی  نسبت به نقطه‌ی‌ پایه  نامیده می‌شود. این گروه را با  نمایش می‌دهیم.

 

تعریف 1-28. فرض کنید یک نگاشت پیوسته و پوشا باشد. گوییم مجموعه‌ی باز از به وسیله‌ی  به طور هموار پوشانده می‌شود هرگاه تصویر عکس را بتوان در به صورت اجتماعی از مجموعه‌های باز جدا از هم نوشت به طوری‌که به‌ازای هر تحدید  به  همئومورفیسمی از  به روی باشد. هر یک از مجموعه‌های را یک قاچ می‌نامیم.

 

تعریف 1-29. نگاشت پوششی

 

فرض کنید یک نگاشت پیوسته و پوشا باشد. اگر هر نقطه‌ی از  دارای همسایگی مانند باشد که به وسیله‌ی به‌طور هموار پوشانده شود آن‌گاه را یک نگاشت پوششی و را یک فضای پوششی می‌نامیم.

 

تعریف 1-30. بالابر

 

نگاشت را در نظر می‌گیریم. فرض کنید یک نگاشت پیوسته از فضایی مانند به توی باشد. نگاشت     را یک بالابر  گوییم در صورتی‌که

 

لم 1-31. فرض کنیم یک نگاشت پوششی باشد و . هر مسیر در با نقطه‌ی آغاز ، مانند ، دارای بالابر یکتایی به مسیر   با نقطه‌ی آغازی می‌باشد.

 

برهان. به مرجع [17]، صفحه 336 رجوع کنید.

 

 تعریف 1-32. پوشش جهانی

 

اگر یک فضای همبند ساده و یک نگاشت پوششی باشد، آن‌گاه را یک فضای پوششی جهانی  می‌نامیم.

 

اگر  همبندراهی موضعی باشد و و  دو فضای پوششی همبند‌ساده‌ی باشند، آن‌گاه همئومورفیسمی مانند موجود است که .

 

 تعریف 1-33. رسته

 

رسته‌ای مثل  ?خانواده‌ای متشکل از اشیاء است با این ویژگی که

 

1- به ازای هر دو شی مثل و  مجموعه‌ای متناظر می‌شود که با (مجموعه‌ی ریخت‌های از به ) نشان داده می‌شود و دارای این خاصیت است که به‌ازای هر چهار شیء ، ، و  که ،

 

2-به‌ازای هر سه شیء مثل ، و ، تابع

 

موجود است که

 

به‌ازای هر چهار شیء ، ، و ، اگر ، و ، آن‌گاه .

 

به‌ازای هر شیء مثل ، عضوی از  مثل موجود است که به‌ازای هر عضو از مثل و هر عضو از  مثل ، داشته باشیم:

 

 تعریف 1-34. تابعگون

 

فرض کنید ? و  دو رسته باشند. تابعگون همورد (پادورد) از به  زوجی متشکل از دو تابع است: یکی تابع شیء که به هر شیء از مثل ، شیء از  را نسبت می‌دهد و دیگری تابع ریختار که آن را نیز با نشان می‌دهیم و به هر ریختار از ? مثل ، ریختاری از  مثل  ( ) نسبت می‌دهد که

 

1- به‌ازای هر شیء از ?  مثل ، .

 

2- به‌ازای هر دو ریختار از مثل و ، داشته باشیم

 

 تعریف 1-35. یکریختی طبیعی

 

فرض کنید  و  تابعگون‌هایی از رسته‌ی ? به رسته‌ی ? باشند. تبدیل طبیعی ، تابعی است که برای هر شیء از ?، ریخت از ? را چنان نسبت می‌دهد که به‌ازای هر ریخت از ?، . به‌عبارت دیگر نمودار زیر جابه‌جایی است:

 

 تعریف 1-36. هم‌ارزی رسته‌ها

 

اگر تابعگون‌های و و یکریختی‌های طبیعی و موجود باشند، رسته‌های  ?و ? را هم‌ارز گوییم.

 

 قضیه 1-38. فرض کنید یک گروه و زیرمجموعه‌ای غیرتهی از باشد. در این‌صورت (  زیر گروه  است) اگر و فقط اگر به‌ازای هر ، داشته باشیم .

 

برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنید.

 

قضیه 1-40. فرض کنید یک حلقه و یک زیرمجموعه‌ی غیرتهی از باشد. در این‌صورت یک زیرحلقه از است اگر وفقط اگر

 

1- به‌ازای هر ، .

 

2- به‌ازای هر ، .

 

برهان. به مرجع [7]، مراجعه کنید.