پایان نامه ارشد:بررسی عددی معادلات دیفرانسیل غیر خطی، معادله شرودینگر غیر خطی، معادله کورته وگ دی وری
بدون آنکه چیزی از معادلات دیفرانسیل و روشهای حل آنها بدانیم، ارزیابی این شاخه مهم ریاضیات دشوار است. علاوه بر این پیشرفت نظریه معادلات دیفرانسیل با پیشرفت کلی ریاضیات به هم پیوند خورده است و نمیتواند از آن جدا باشد.
معادلات دیفرانسیل زیادی که جوابهای آنها با روشهای تحلیلی بدست نمیآیند به بررسی در روشهای تقریب عددی منجر شدهاند.
پیش از سال 1900 روشهای انتگرالگیری عددی نسبتاً مؤثری ابداع شده بودند ولی پیاده کردن آنها به علت نیاز به انجام محاسبات با دست یا با وسایل محاسبه خیلی ابتدایی بیاندازه محدود بود. در پنجاه سال اخیر توسعه روزافزون رایانههای چند منظوره پر قدرت دامنه مسائلی را که میتوان به نحوی مؤثر با روشهای عددی بررسی کرد بیاندازه وسعت بخشیده است.
کار مهم دیگر در زمینه معادلات دیفرانسیل در سده بیستم، ایجاد روشهای هندسی یا توپولوژیکی، بویژه برای معادلات غیرخطی است. هدف این است که حداقل رفتار کیفی جوابها را از دیدگاه هندسی و نیز تحلیلی درک کنیم. اگر اطلاعات تفضیلی بیشتری لازم باشد، معمولاًمیتوان از تقریب عددی استفاده کرد. در چند سال اخیر، این دو روند به هم پیوستهاند. رایانهها، و بویژه نمودارهای رایانهیی، برای مطالعه دستگاه معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیروی محرکه جدیدی به شمار میروند. پدیدههای غیر منتظرهای کشف شدهاند که با اصطلاحاتی نظیر جاذبههای عجیب، آشوبها، و بر خالها به آنها اشاره میشود و با جدیت مورد بررسی قرار گرفتهاندکه در برخی از کاربردها به شناختهای جدید و مهمی منجر شدهاند. هر چند معادلات دیفرانسیل موضوعی قدیمی است، که اطلاعات زیادی از آن در دست است، ولی در طلیعه سده بیست و یکم این موضوع همچنان منبعی پر بار از مسائل حل نشده مهم و جالبی مانده است.
رایانه میتواند وسیله ارزشمندی در مطالعه معادلات دیفرانسیل باشد. سالها از رایانهها برای اجرای الگوریتمهای عددی استفاده میشد تا تقریبهای عددی برای جوابهای معادلات دیفرانسیل به دست آورند. در حال حاضر این الگوریتم ها تکامل یافته و در تعمیم و کار آیی به سطح بسیار بالایی رسیدهاند. چند سطر از رمز رایانهیی، که با زبان سطح بالایی در یک رایانه نسبتاً ارزان نوشته و اجرا شده باشد. (اغلب در مدت چند ثانیه) برای حل عددی رشته وسیعی از معادلات دیفرانسیل کافی است. در بیشتر مراکز رایانهیی روالهای عادی پیشرفتهتر در دسترساند. توانایی این روالها ترکیبی هستند از توانایی پرداختن به دستگاه خیلی بزرگ و پیچیده و چندین ویژگی مفید برای تشخیص که کاربر را با مسائلی که ممکن است با آنها مواجه شود آگاه میسازند. خروجی معمولی از یک الگوریتم عددی جدولی از اعداد شامل مقادیر برگزیده متغیر مستقل و مقادیر متناظر متغیرهای وابسته است. با امکانات گرافیک رایانهیی مناسب، میتوان به سادگی جواب یک معادله دیفرانسیل را به طریق نموداری نمایش داد، خواه جواب به طریق عددی حاصل شده باشد یا خواه نوعی از روش تحلیلی. این گونه نمایش نموداری اغلب برای درک و تعبیر جواب یک معادله دیفرانسیل مفیدتر و روشنگرتر از جدولی از اعداد یا یک فرمول تحلیلی پیچیده است.[1و2]
نسخه قابل چاپ | ورود نوشته شده توسط نجفی زهرا در 1399/10/26 ساعت 12:42:00 ق.ظ . دنبال کردن نظرات این نوشته از طریق RSS 2.0. |