پس از معرفی مکانیک نیوتنی، دانشمندان زیادی از این نظریه به عنوان مکانیک سماوی در مطالعه و شناخت کیهان استفاده کردند. در همان سال­های اولیه مطالعه­ی گرانش­های قوی و تأثیرات آن بر سایر اجرام مورد توجه قرار گرفت.

نخستین بار در سال 1784 میشل[1] در مقاله­ای سرعت فرار[2] را با اطلاعات آن روز محاسبه کرد  [1] و در سال 1796 لاپلاس[3] نیز همان نظریه­ی میشل را دوباره مطرح کرد که با توجه به اینکه مقدار دقیقی برای سرعت نور محاسبه نشده بود، آنچنان که می­بایست مورد توجه قرار نگرفت. در اواخر قرن 19 سرعت نور کاملاً معلوم و اندازه­گیری شد و از طرفی در سال 1915 اینشتین نظریه­ی نسبیت عام را برای تشریح مبانی هندسی برهم­کنش­های گرانشی، که منجر به انحنای فضازمان توسط ماده یا انرژی می­شد، مطرح کرد و نشان داد که گرانش روی مسیر نور نیز تأثیر می­گذارد.

حقیقت­هایی در مورد گرانش وجود دارد که نقش آن‌را در پدیده­های فیزیکی نمایان می­کند، از جمله اینکه: در نظریه­ی نیوتنی خورشید نیروی گرانشی به زمین وارد می­کند و از سوی دیگر زمین در پاسخ به این نیرو به دور خورشید می­گردد. در نسبیت عام جرم خورشید انحنایی در فضازمان ایجاد می­کند و زمین در مسیری مشخص در این فضازمان منحنی حرکت می­کند. به عبارت دیگر در نظریه نیوتنی، گرانش برهم کنش از راه دور بین جرم­هاست اما در نسبیت عام، گرانش به صورت انحنای هندسی فضازمان توصیف می­شود.

در سال 1916 چند ماه پس از اینکه اینشتین معادلات خود را ارائه کرد، ­شوارتزشیلد نخستین جواب دقیق معادلات اینشتین را یافت ]2[

 و اظهار داشت که از دیدگاه نظری سیاه­چاله­ها وجود دارند. سپس دانشمندان با در نظر گرفتن این سیاه­چاله در مبدأ مختصات، دریافتند که در فاصله­ی مشخصی از آن نور هم نمی­تواند از دام سیاه­چاله خارج شود. به این فاصله، شعاع شوارتزشیلد و به ابر سطحی که در این فاصله قرار دارد، افق رویداد سیاه­چاله­ی شوارتزشیلد می­گویند.

اینشتین معادلات نسبیت عام را به صورت یک رابطه­ی تانسوری به شکل زیر ارائه نمود:

که در آن  یک ثابت عددی مثبت موسوم به ثابت گرانش اینشتین می­باشد. این معادله تأثیرات ماده بر انحنای فضازمان را نشان می­دهد. در طرف راست معادله­ی (1-1)، تانسور  همان تانسور انرژی- تکانه است که معرف میدان­های مادی مختلف می­باشد. طرف چپ این معادله که نقش هندسه­ی فضازمان را دارد، توسط تانسور اینشتین  معرفی می­شود که این تانسور به صورت زیر تعریف می­شود:

(1-2)

که در آن  و  به ترتیب تانسور و اسکالر ریچی می­باشند. اینشتین فقط مشتقات مرتبه­ی اول و دوم متریک را در معادلات خود در نظر گرفت و بعدها برای توضیح جهان شتابدار ثابت کیهان­شناسی  را نیز در معادله وارد کرد.

در سال 1971 لاولاک[4] با درنظر گرفتن وابستگی خطی به مشتقات مرتبه­ی دوم متریک، معادلات گرانش در ابعاد بیش از 4- بعد را معرفی و به­جای تانسور اینشتین یک تانسور عمومی­تر در معادلات گرانشی ارائه نمود. وی توانست به لاگرانژی که تعمیمی بود از لاگرانژی اینشتین – هیلبرت[5] دست پیدا کند [3-5]. در فصل سوم در مورد گرانش لاولاک به اختصار بحث خواهیم کرد. ما در این رساله سعی بر این داریم که در طرف چپ معادلات میدان، به جای استفاده از گرانش اینشتین از گرانش مرتبه­ی دوم لاولاک (گرانش گوس- بونه) استفاده کنیم.

همان‌طور که گفته شد، در سمت راست معادله­ی (1-1)، تانسور انرژی- تکانه­ی مربوط به میدان­های مادی مختلف قرار دارد. یکی از مهم‌ترین این میدان­ها، میدان الکترومغناطیسی می­باشد. معادلات ماکسول به عنوان یک میدان خطی الکترومغناطیسی، از معروف‌ترین این میدان­هاست.

پس از روی کار آمدن نظریه­ی نسبیت عام، با توجه به اینکه این نظریه یک تئوری غیرخطی گرانش می­باشد، دانشمندان علاقه­مند به نظریات غیرخطی شدند.

معادلات ماکسول چگونگی ایجاد میدان­های الکتریکی و مغناطیسی را توسط بارها و جریان­های الکتریکی و نیز پیدایش یکی از این میدان‌ها توسط تغییر زمانی میدان دیگر را توصیف می‌کنند. اما این معادلات در حالاتی خاص دارای ایراداتی است که می­توان به نامحدود شدن میدان الکتریکی ذرات باردار نقطه­ای در محل آن‌ها اشاره نمود.

تئوری میدان­های غیرخطی به این دلیل که اغلب سیستم­های فیزیکی موجود در طبیعت ذاتاً غیرخطی هستند بسیار مورد علاقه بود و کنش­های غیرخطی در تئوری ابرریسمان نیز مطرح شدند [6-10]. اولین بار در سال 1934 الکترودینامیک غیر خطی توسط بورن و اینفلد ارائه شد ]11[ که انگیزه­ی آن‌ها از ارائه­ی چنین میدانی محاسبه­ی مقدار متناهی برای خود انرژی ذرات باردار نقطه­ای گونه بود. سپس هافمن در سال 1935 نسبیت عام را با الکترودینامیک بورن و اینفلد پیوند داد و یک جواب متقارن کروی که نشان دهنده­ی میدان گرانشی یک جسم باردار باشد را معرفی کرد و جواب­های سیاه­چاله­ای آن را مورد بررسی قرار داد ]12[.

از سوی دیگر در نظریه­ی ماکسول، میدان الکتریکی یک ذره­ی باردار نقطه­ای تابعی از ابعاد فضازمان بوده و فقط در 4- بعد عکس مجذوری می­باشد. اگر بخواهیم معادله الکترومغناطیس صرف­نظر از ابعاد فضازمان متناسب با عکس مجذور فاصله باشد باید این نظریه را به صورت تعمیم یافته و غیرخطی بیان کنیم. نظریه­ی مناسب جهت برآورده کردن این خاصیت، نظریه­ی توانی ناوردای ماکسول[6] (PMI) نام دارد که در بسیاری از مقالات در حوزه­ی گرانش به آن اشاره شده است [13و14]. در این رساله صرف­نظر از نظریه­های بورن- اینفلد و توانی ناوردای ماکسول دو کلاس جدید از میدان­های الکترومغناطیس غیرخطی را معرفی می­کنیم و در مورد خصوصیات آن‌ها بحث خواهیم کرد. همچنین با در نظر گرفتن این دو کلاس غیرخطی به­جای میدان ماکسول در سمت راست معادله­ی (1-1) جواب­های سیاه­چاله­ای آن را بدست خواهیم آورد.

در سال­های اخیر، یکی از پیشرفت­های بزرگ در نسبیت عام، کشف رابطه­ی بین مکانیک سیاه­چاله­ها و قوانین ترمودینامیک بوده است ]15[. به­عنوان نمونه با وجود گرانش قوی سیاه­چاله و نبود اطلاعات از درون آن، یافته­های هاوکینگ در سال 1971 نشان داد در شرایط عمومی مساحت کل افق­های رویداد یک سیاه­چاله هرگز نمی­تواند کاهش یابد که این نتیجه را امروزه قانون دوم مکانیک سیاه­چاله­ها می­نامند. این قانون شباهت قابل توجهی با قانون دوم ترمودینامیک دارد که بیان می­کند آنتروپی کل سیستم هرگز کاهش نمی­یابد. از این رو بکنشتین[7] پیشنهاد داد یک سیاه­چاله باید آنتروپی داشته باشد و آنتروپی آن با مساحت افق رویدادش متناسب است ]16و17[.

در این رساله ما علاقه­مند به بررسی خصوصیات ترمودینامیکی سیاه­چاله­ها می­باشیم. ابتدا کمیت­های ترمودینامیکی و پایای سیاه­چاله را محاسبه کرده، آنگاه با تعمیم رابطه­ی اسمار[8] برای جواب­های بدست آمده، جرم را به­صورت تابعی از آنتروپی، بارالکتریکی و تکانه­ی زاویه­ای بدست می­آوریم. سپس صحت قانون اول ترمودینامیک را برای نظریه­ی ارائه شده می­آزماییم و در نهایت به بررسی پایداری جواب­ها خواهیم پرداخت. در این رساله در دستگاه واحد که  می­باشد کار می­کنیم.

به­طور کلی مطالب این رساله به صورت زیر دسته­بندی شده­اند:

فصل دوم به الکترومغناطیس غیرخطی اختصاص دارد. ابتدا میدان­های غیرخطی بورن- اینفلد و توانی ناوردای ماکسول را معرفی و سپس به معرفی دو کلاس جدید از الکترومغناطیس غیرخطی پرداخته می­شود و لاگرانژی آن­ها مورد بررسی قرار داده می­شود. سپس میدان الکتریکی ذرات باردار نقطه­ای در این نظریه­ها ارائه می­گردد.

فصل سوم به مقدماتی در مورد گرانش اختصاص دارد. ابتدا در مورد اصول نسبیت عام به اختصار بحث می­شود، آنگاه برخی تعاریف مورد نیاز در مورد هندسه و متریک فضازمان ارائه شده و سپس به معرفی گرانش لاولاک و به خصوص لاگرانژی مرتبه­ی دوم لاولاک (لاگرانژی گوس- بونه) پرداخته می­شود. سپس به مکانیک سیاه­چاله پرداخته شده و به قوانین ترمودینامیک سیاه­چاله­ها به صورت اختصار اشاره می­شود.

فصل چهارم لایه­ی سیاه گرانش گوس- بونه را در حضور دو کلاس جدید از الکترومغناطیس غیرخطی محاسبه و سپس خصوصیت­های هندسی فضازمان شامل تکینگی[9] (در صورت وجود) افق رویداد، رفتارهای مجانبی و… مورد بررسی قرار گرفته  می­شود. در ادامه کمیت­های پایا[10] و ترمودینامیکی را محاسبه کرده و قانون اول­ ترمودینامیک ­مورد بررسی قرار داده می­شود.